Question

17．若函數(shù)f（x）的定義域為A，區(qū)間D⊆A，如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界，已知函數(shù)f（x）=4^x-a•2^x-3．
（1）當(dāng)a=-2時，求函數(shù)f（x）的零點；
（2）當(dāng)a=-4時，求函數(shù)f（x）在[0，2]上的值域，并判斷函數(shù)f（x）在[0，2]上是否為有界函數(shù)；
（3）若函數(shù)f（x）在（-∞，0]上是以4為上界的有界函敦，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）a=-2時，f（x）=4^x+2•2^x-3，解f（x）=0即可得出該函數(shù)的零點；
（2）a=-4時，求出f（x）=（2^x+2）²-7，根據(jù)x∈[0，2]即可得出2^x的范圍，從而得出f（x）的范圍，即得出f（x）在[0，2]上的值域，根據(jù)有界函數(shù)的定義，只要找到一個常數(shù)M，使|f（x）|≤M便說明f（x）有界，根據(jù)這個方法判斷即可；
（3）對f（x）配方得到$f（x）=（{2}^{x}-\frac{a}{2}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}-3$，可令2^x=t，t∈（0，1]，設(shè)y=f（x），從而得到$y=（t-\frac{a}{2}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}-3$，可討論對稱軸$x=\frac{a}{2}$和區(qū)間（0，1]的關(guān)系，然后根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性及取得頂點情況和端點取值情況便可得出g（t）在（0，1]上的值域，根據(jù)題意知|g（t）|≤4，這樣即可得出關(guān)于a的不等式，從而得出每種情況下a的取值范圍，最后求并集即可得出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）a=-2時，f（x）=4^x+2•2^x-3=（2^x+3）（2^x-1）=0；
∴2^x=1；
∴x=0；
即函數(shù)f（x）的零點為0；
（2）a=-4時，f（x）=4^x+4•2^x-3=（2^x+2）²-7；
x∈[0，2]；
∴2^x∈[1，4]，∴（1+2）²-7≤f（x）≤（4+2）²-7；
即2≤f（x）≤29；
∴f（x）在[0，2]上的值域為[2，29]；
∴存在常數(shù)29，使對任意x∈[0，2]，都有|f（x）|≤29；
∴f（x）在[0，2]上為有界函數(shù)；
（3）$f（x）=（{2}^{x}-\frac{a}{2}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}-3$；
x∈（-∞，0]；
∴2^x∈（0，1]；
令2^x=t，t∈（0，1]，設(shè)y=f（x），則：
$y=（t-\frac{a}{2}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}-3$，設(shè)y=g（t）；
∵f（x）在（-∞，0]上是以4為上界的函數(shù)；
∴|g（t）|≤4；
①若$\frac{a}{2}≤0$，即a≤0，g（t）在（0，1]上單調(diào)遞增；
∴g（0）＜g（t）≤g（1）；
即-3＜g（t）≤-a-2；
∴-a-2≤4；
∴a≥-6；
即-6≤a≤0；
②若0$＜\frac{a}{2}＜1$，即0＜a＜2，則g（$\frac{a}{2}$）≤g（t）＜g（0），或$g（\frac{a}{2}）≤g（t）≤g（1）$；
即$-\frac{{a}^{2}}{4}-3≤g（t）＜-3$，或$-\frac{{a}^{2}}{4}-3≤g（t）≤-a-2$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{{a}^{2}}{4}-3≥-4}\\{-a-2≤4}\end{array}\right.$；
∴0＜a＜2；
③若$\frac{a}{2}≥1$，即a≥2，則g（t）在（0，1]上單調(diào)遞減；
∴g（1）≤g（t）＜g（0）；
即-a-2≤g（t）＜-3；
∴-a-2≥-4；
∴a≤2；
∴a=2；
綜上得實數(shù)a的取值范圍為：[-6，2]．

點評 考查對有界函數(shù)的理解，函數(shù)零點的概念及其求法，指數(shù)函數(shù)的值域，配方處理二次式子的方法，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性及取得頂點和端點值的情況求二次函數(shù)在一曲間上的值域的方法．