Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x（x＞0）}\\{0（x=0）}\\{{x}^{2}+mx（x＜0）}\end{array}\right.$為奇函數(shù)．
（1）求f（-1）以及m的值；
（2）在給出的直角坐標系中畫出y=f（x）的圖象，并寫出單調(diào)區(qū)間；
（3）就k的取值范圍，討論函數(shù)g（x）=f（x）-2k+1的零點個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由已知中函數(shù)的解析式，先求出f（1），再由f（-1）=-f（1）得到f（-1）以及m的值；
（2）由已知中函數(shù)的解析式，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得y=f（x）的圖象，數(shù)形結(jié)合可寫出單調(diào)區(qū)間；
（3）結(jié)合y=f（x）的圖象，分類討論不同情況下，y=f（x）的圖象與y=2k-1交點的個數(shù)，可得答案．

解答 解：（1）f（1）=1，f（-1）=-f（1）=-1，…（1分）
當x＜0時，-x＞0，f（x）=-（x）²+2（-x）=-x²-2x，又f（x）為奇函數(shù)，
f（x）=-f（-x）=x²+2x，
所以m=2．…2分
（2）y=f（x）的圖象如圖所示．
…（4分）
由圖可得：
f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間（-1，1），
f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間…（-∞，-1），（1，+∞）…（7分）
（3）由（2）中f（x）的圖象知：
若函數(shù)g（x）=f（x）-2k+1有一個零點，則2k-1＞1或2k-1＜-1
即k＞1或k＜0…（9分）
若函數(shù)g（x）=f（x）-2k+1有二個零點，則2k-1=1或2k-1=-1
即k=0或k=1…（11分）
若函數(shù)g（x）=f（x）-2k+1有三個零點，則-1＜2k-1＜1
即0＜k＜1…（13分）

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)求值，函數(shù)的圖象，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)的零點，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用．