Question

11．以正方體的頂點(diǎn)及各面的中心為頂點(diǎn)的三棱錐的個(gè)數(shù)為956．

Answer 1

分析 首先從8個(gè)頂點(diǎn)和4個(gè)面為中心的點(diǎn)中選4個(gè)，共有C ₁₄ ⁴ 種結(jié)果，在這些結(jié)果中，去掉四點(diǎn)共面的情況，能求出結(jié)果．

解答 解：首先從8個(gè)頂點(diǎn)和6個(gè)面為中心的點(diǎn)中選4個(gè)，共有C₁₄ ⁴ 種結(jié)果，
在這些結(jié)果中，有四點(diǎn)共面的情況：
①每個(gè)表面有5個(gè)點(diǎn)，從中任取4點(diǎn)有${C}_{5}^{4}$=5，即每個(gè)表面有5個(gè)四點(diǎn)共面，
從而6個(gè)表面有6×5=30個(gè)四點(diǎn)共面；
②每個(gè)對角面有一個(gè)四點(diǎn)共面，故6個(gè)對角面有6個(gè)四點(diǎn)共面；
③全是面的中心的4點(diǎn)共面有3個(gè)；
④一條棱上的兩點(diǎn)與兩個(gè)中心共面的情況有6個(gè)，且這6個(gè)都是對角面，
∴滿足條件的結(jié)果有C₁₄ ⁴-30-6-3-6=956．
故答案為：956．

點(diǎn)評 本題考查滿足條件的三棱錐的個(gè)數(shù)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．