Question

1．已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足6S_n=a_n²+3a_n+2，且a₂是a₁和a₆的等比中項(xiàng)．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）符合[x]表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，如[log₂3]=1，[log₂5]=2．記${b_n}=[{log_2}\frac{{{a_n}+5}}{3}]$，求數(shù)列$\{{2^n}•{b_{2^n}}\}$的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）由6S_n=a_n²+3a_n+2，當(dāng)n≥2時(shí)，$6{S}_{n-1}={a}_{n-1}^{2}+3{a}_{n-1}$+2，可得：6a_n=${a}_{n}^{2}$-${a}_{n-1}^{2}$+3a_n-3a_n-1，化為（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0，根據(jù)數(shù)列{a_n}是正項(xiàng)數(shù)列，及其等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、a₂是a₁和a₆的等比中項(xiàng)即可得出．
（II）${b_n}=[{log_2}\frac{{{a_n}+5}}{3}]$=[log₂（n+1）]，可得$_{{2}^{n}}$=$[lo{g}_{2}（{2}^{n}+1）]$=n，${2}^{n}•_{{2}^{n}}$=n•2ⁿ．利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（I）由6S_n=a_n²+3a_n+2，當(dāng)n≥2時(shí)，$6{S}_{n-1}={a}_{n-1}^{2}+3{a}_{n-1}$+2，可得：6a_n=${a}_{n}^{2}$-${a}_{n-1}^{2}$+3a_n-3a_n-1，
化為（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0，
∵數(shù)列{a_n}是正項(xiàng)數(shù)列，∴a_n+a_n-1＞0，可得a_n-a_n-1=3，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，公差為3．
由6a₁=${a}_{1}^{2}$+3a₁+2，解得a₁=1或2．
當(dāng)a₁=2時(shí)，a_n=2+3（n-1）=3n-1，可得a₂=5，a₆=17，不滿足a₂是a₁和a₆的等比中項(xiàng)，舍去．
當(dāng)a₁=1時(shí)，a_n=1+3（n-1）=3n-2，可得a₂=4，a₆=16，滿足a₂是a₁和a₆的等比中項(xiàng)．
∴a_n=3n-2．
（II）${b_n}=[{log_2}\frac{{{a_n}+5}}{3}]$=[log₂（n+1）]，∴$_{{2}^{n}}$=$[lo{g}_{2}（{2}^{n}+1）]$=n，
∴${2}^{n}•_{{2}^{n}}$=n•2ⁿ．
∴數(shù)列$\{{2^n}•{b_{2^n}}\}$的前n項(xiàng)和T_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2T_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=2×$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．