Question

2．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，右頂點(diǎn)A（2，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)$M（\frac{3}{2}，0）$的直線l交橢圓于B、D兩點(diǎn)，設(shè)直線AB斜率為k₁，直線AD斜率為k₂．求證：k₁k₂為定值，并求此定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，右頂點(diǎn)A（2，0），列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）由題意知直線l斜率不為0，可設(shè)直線l方程為$x=my+\frac{3}{2}$，與橢圓聯(lián)立，得$（{m^2}+4）{y^2}+3my-\frac{7}{4}=0$，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理，結(jié)合已知條件能證明k₁k₂為定值，并能求出此定值．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，右頂點(diǎn)A（2，0），
∴由題意得$\left\{\begin{array}{l}{a^2}={b^2}+{c^2}\\ \frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\\ a=2\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=2.\\ b=1\\ c=\sqrt{3}.\end{array}\right.$
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．…（4分）
證明：（Ⅱ）由題意知直線l斜率不為0，可設(shè)直線l方程為$x=my+\frac{3}{2}$，
與$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$聯(lián)立，得$（{m^2}+4）{y^2}+3my-\frac{7}{4}=0$，
△=9m²+7（m²+4）＞0，設(shè)B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
則${y_1}+{y_2}=\frac{-3m}{{{m^2}+4}}，{y_1}{y_2}=\frac{{-\frac{7}{4}}}{{{m^2}+4}}$…（8分）
${k_1}{k_2}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{（{x_1}-2）（{x_2}-2）}}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{（m{y_1}-\frac{1}{2}）（m{y_2}-\frac{1}{2}）}}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{m^2}{y_1}{y_2}-\frac{1}{2}m（{y_1}+{y_2}）+\frac{1}{4}}}$
=$\frac{{-\frac{7}{4}}}{{-\frac{7}{4}{m^2}+\frac{3}{2}{m^2}+\frac{1}{4}（{m^2}+4）}}=-\frac{7}{4}$．
∴k₁k₂為定值，定值為$-\frac{7}{4}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)、根的判別式、韋達(dá)定理的合理運(yùn)用．