Question

3．如圖，A、B是海岸線OM、ON上的兩個(gè)碼頭，海中小島有碼頭Q到海岸線OM、ON的距離分別為2km、$\frac{7\sqrt{10}}{5}$km．測得tan∠MON=-3，OA=6km．以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OM為x軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．一艘游輪以18$\sqrt{2}$km/小時(shí)的平均速度在水上旅游線AB航行（將航線AB看作直線，碼頭Q在第一象限，航線AB經(jīng)過Q）．
（1）問游輪自碼頭A沿$\overrightarrow{AB}$方向開往碼頭B共需多少分鐘？
（2）海中有一處景點(diǎn)P（設(shè)點(diǎn)P在xOy平面內(nèi)，PQ⊥OM，且PQ=6km），游輪無法靠近．求游輪在水上旅游線AB航行時(shí)離景點(diǎn)P最近的點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由已知得：A（6，0），直線ON的方程為y=-3x，求出Q（4，2），得直線AQ的方程，從而求出水上旅游線AB的長，由此能求出游輪在水上旅游線自碼頭A沿$\overrightarrow{AB}$方向開往碼頭B共航行時(shí)間．
（2）點(diǎn)P到直線AB的垂直距離最近，則垂足為C，分別求出直線AB的方程和直線PC的方程，聯(lián)立直線AB和直線PC的方程組，能求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．

解答 解：（1）由已知得：A（6，0），直線ON的方程為y=-3x，…1分
設(shè)Q（x₁，2），（x₁＞0），由$\frac{|3{x}_{1}+2|}{\sqrt{10}}=\frac{7\sqrt{10}}{5}$及x₁＞0，得x₁=4，∴Q（4，2），…3分
∴直線AQ的方程為y=-（x-6），即x+y-6=0，…5分
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x}\\{x+y-6=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=9}\end{array}\right.$，即B（-3，9），…6分
∴AB=$\sqrt{（-3-6）^{2}+{9}^{2}}$=9$\sqrt{2}$，即水上旅游線AB的長為9$\sqrt{2}$km．
游輪在水上旅游線自碼頭A沿$\overrightarrow{AB}$方向開往碼頭B共航行30分鐘時(shí)間． …8分
（2）點(diǎn)P到直線AB的垂直距離最近，則垂足為C． …10分
由（1）知直線AB的方程為x+y-6=0，
P（4，8），則直線PC的方程為x-y+4=0，…12分
聯(lián)立直線AB和直線PC的方程組$\left\{\begin{array}{l}{x+y-6=0}\\{x-y+4=0}\end{array}\right.$，
得點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（1，5）． …14分

點(diǎn)評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系在生產(chǎn)生活中的實(shí)際應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)、直線方程的合理運(yùn)用．