Question

3．如圖，A、B是海岸線OM、ON上的兩個碼頭，海中小島有碼頭Q到海岸線OM、ON的距離分別為2km、$\frac{7\sqrt{10}}{5}$km．測得tan∠MON=-3，OA=6km．以點O為坐標原點，射線OM為x軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標系．一艘游輪以18$\sqrt{2}$km/小時的平均速度在水上旅游線AB航行（將航線AB看作直線，碼頭Q在第一象限，航線AB經過Q）．
（1）問游輪自碼頭A沿$\overrightarrow{AB}$方向開往碼頭B共需多少分鐘？
（2）海中有一處景點P（設點P在xOy平面內，PQ⊥OM，且PQ=6km），游輪無法靠近．求游輪在水上旅游線AB航行時離景點P最近的點C的坐標．

Answer 1

分析 （1）由已知得：A（6，0），直線ON的方程為y=-3x，求出Q（4，2），得直線AQ的方程，從而求出水上旅游線AB的長，由此能求出游輪在水上旅游線自碼頭A沿$\overrightarrow{AB}$方向開往碼頭B共航行時間．
（2）點P到直線AB的垂直距離最近，則垂足為C，分別求出直線AB的方程和直線PC的方程，聯立直線AB和直線PC的方程組，能求出點C的坐標．

解答 解：（1）由已知得：A（6，0），直線ON的方程為y=-3x，…1分
設Q（x₁，2），（x₁＞0），由$\frac{|3{x}_{1}+2|}{\sqrt{10}}=\frac{7\sqrt{10}}{5}$及x₁＞0，得x₁=4，∴Q（4，2），…3分
∴直線AQ的方程為y=-（x-6），即x+y-6=0，…5分
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x}\\{x+y-6=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=9}\end{array}\right.$，即B（-3，9），…6分
∴AB=$\sqrt{（-3-6）^{2}+{9}^{2}}$=9$\sqrt{2}$，即水上旅游線AB的長為9$\sqrt{2}$km．
游輪在水上旅游線自碼頭A沿$\overrightarrow{AB}$方向開往碼頭B共航行30分鐘時間． …8分
（2）點P到直線AB的垂直距離最近，則垂足為C． …10分
由（1）知直線AB的方程為x+y-6=0，
P（4，8），則直線PC的方程為x-y+4=0，…12分
聯立直線AB和直線PC的方程組$\left\{\begin{array}{l}{x+y-6=0}\\{x-y+4=0}\end{array}\right.$，
得點C的坐標為C（1，5）． …14分

點評 本題考查直線與圓的位置關系在生產生活中的實際應用，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓的性質、直線方程的合理運用．