Question

8．已知△ABC中，AB=AC，D為△ABC外接圓劣弧$\widehat{AC}$上的點(diǎn)（不與點(diǎn)A，C重合），延長(zhǎng)BD至E，延長(zhǎng)AD交BC的延長(zhǎng)線于F
（1）求證：∠CDF=∠EDF；
（2）求證：AB•AC•DF=AD•FC•FB．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)A，B，C，D 四點(diǎn)共圓，可得∠ABC=∠CDF，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，從而得解．
（II）證明△BAD∽△FAB，可得AB²=AD•AF，因?yàn)锳B=AC，所以AB•AC=AD•AF，再根據(jù)割線定理即可得到結(jié)論．

解答 證明：（I）∵A，B，C，D 四點(diǎn)共圓，∴∠ABC=∠CDF
又AB=AC∴∠ABC=∠ACB，
且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，
對(duì)頂角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF；
（II）由（I）得∠ADB=∠ABF，
∵∠BAD=∠FAB，
∴△BAD∽△FAB，
∴$\frac{AB}{AF}$=$\frac{AD}{AB}$，
∴AB²=AD•AF，
∵AB=AC，
∴AB•AC=AD•AF，
∴AB•AC•DF=AD•AF•DF，
根據(jù)割線定理DF•AF=FC•FB，
∴AB•AC•DF=AD•FC•FB．

點(diǎn)評(píng) 本題以圓為載體，考查圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，考查等腰三角形的性質(zhì)，考查三角形的相似，屬于基礎(chǔ)題．