Question

19．已知函數(shù)f（x）=x²+ax+blnx（a，b∈R）．
（1）若b=1且f（x）在x=1處取得極值，求實(shí)數(shù)a的值及單調(diào)區(qū)間；
（2）若b=-1，f（x）≥0對(duì)x＞0恒成立，求a的取值范圍；
（3）若a+b≥-2且f（x）在（0，+∞）上存在零點(diǎn)，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用f（x）在x=1處取得極值，求解a，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，判斷函數(shù)的單調(diào)性．
（2）b=-1，f（x）≥0對(duì)x＞0恒成立，轉(zhuǎn)化為，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，求解a的范圍．
（3）f（x）在（0，+∞）存在零點(diǎn)?x²+ax+blnx=0，$?-x-\frac{blnx}{x}=a$在（0，+∞）上有解，推出a，b的不等式，令P（x）=x²-（b+2）x+blnx，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，①當(dāng)b＞0時(shí)，②當(dāng)b≤0時(shí)，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值求解即可．

解答 解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋簕x|x＞0}．
若b=1，則$f（x）={x^2}+ax+lnx，f'（x）=\frac{{2{x^2}+ax+1}}{x}$，
由f'（1）=0得a=-3，故$f'（x）=\frac{{（{2x-1}）（{x-1}）}}{x}$，
當(dāng)$0＜x＜\frac{1}{2}$或x＞1時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)$\frac{1}{2}＜x＜1$時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$（{0，\frac{1}{2}}）$和（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為$（{\frac{1}{2}，1}）$…（4分）
（2）當(dāng)b=-1時(shí)，$f'（x）=\frac{{2{x^2}+ax-1}}{x}$，
令g（x）=2x²+ax-1易知g（x）在（0，+∞）上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)設(shè)為x₀，
則當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，g（x）＜0，即f'（x）＜0，故f（x）在（0，x₀）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（x₀，+∞）時(shí)，g（x）＞0，即f'（x）＞0，故f（x）在（x₀，+∞）單調(diào)遞增，
所以$f{（x）_{min}}=f（{x_0}）=x_0^2+a{x_0}-ln{x_0}$，
又$g（{x_0}）=2x_0^2+a{x_0}-1=0$即$f{（x）_{min}}=1-x_0^2-ln{x_0}$，
依題意$1-x_0^2-ln{x_0}≥0$即$x_0^2+ln{x_0}-1≤0$，
易知h（x）=x²+lnx-1在（0，+∞）單調(diào)遞增，
且h（1）=0，故0＜x₀≤1，
又$a=\frac{1}{x_0}-2{x_0}$隨x₀增大而減小
所以a∈[-1，+∞）…（10分）‘
說(shuō)明：此題若用分離參數(shù)法同樣給分．
（3）f（x）在（0，+∞）存在零點(diǎn)?x²+ax+blnx=0，
在（0，+∞）上有解$?-x-\frac{blnx}{x}=a$在（0，+∞）上有解，
又a+b≥-2即a≥-b-2，
故$-x-\frac{blnx}{x}≥-b-2$即x²-（b+2）x+blnx≤0在（0，+∞）上有解
令P（x）=x²-（b+2）x+blnx，
則$P'（x）=\frac{{（{x-1}）（{2x-b}）}}{x}$，
①當(dāng)b＞0時(shí)，P（1）=-1-b＜0，故P（x）≤0有解，
②當(dāng)b≤0時(shí)，易知P（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增，
所以P（x）_min=P（1）=-1-b≤0，
所以-1≤b≤0，
綜上b≥-1…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值，考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，構(gòu)造法的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．