Question

設(shè)函數(shù)f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

）的圖象關(guān)于直線x=

2π

3

對(duì)稱，它的周期是π，則（　　）

• A、f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（0，

  1

  2

  ），
• B、f（x）的一個(gè)對(duì)稱中心是（

  5π

  12

  ，0）
• C、f（x）在[

  π

  12

  ，

  2π

  3

  ]上是減函數(shù)
• D、將f（x）的圖象向右平移|φ|個(gè)單位得到函數(shù)y=3sinωx的圖象

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：先根據(jù)已知，求出周期，ω，φ的值，從而可得函數(shù)解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性即可判斷．

解答： 解：因?yàn)楹瘮?shù)的周期為π，所以ω=2，又函數(shù)圖象關(guān)于直線x=

2

3

π對(duì)稱，
所以由f（x）=3sin（2x+φ）（ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

），
可知2×

2

3

π+φ=kπ+

π

2

，φ=kπ-

5π

6

，-

π

2

＜φ＜

π

2

，
所以k=1時(shí)φ=

π

6

．
∴函數(shù)的解析式為：f（x）=3sin（2x+

π

6

）．
當(dāng)x=0時(shí)f（0）=

3

2

，所以A不正確．
當(dāng)x=

5π

12

時(shí)f（x）=0．函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心是（

5π

12

，0）B正確；
當(dāng)

π

12

＜x＜

2π

3

，2x+

π

6

∈[

π

3

，

3π

2

]，函數(shù)不是單調(diào)減函數(shù)，C不正確；
f（x）的圖象向右平移|φ|個(gè)單位得到函數(shù)y=3sin（ωx+φ-ωφ）的圖象，不是函數(shù)y=3sinωx的圖象，D不正確；
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性，三角函數(shù)解析式的求法，屬于基礎(chǔ)題．