如圖是多面體ABC-A1B1C1和它的三視圖．

（1）若點E是線段CC1上的一點，且CE=2EC1，求證：BE⊥平面A1CC1；
（2）求二面角C1-A1C-A的余弦值．
考點：由三視圖求面積、體積
專題：空間位置關(guān)系與距離
分析：（1）由題意知AA1，AB，AC兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面A1CC1的法向量，進而根據(jù)BE的方向向量與平面A1CC1的法向量平行，得到答案．
（2）平面C1A1C的法向量為
m
=（1，-1，1）而平面A1CA的一個法向量為
n
=（1，0，0），代入向量夾角公式，可得答案．
解答： 解：（1）由題意知AA1，AB，AC兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），A1（0，0，2），B（-2，0，0），C（0，-2，0），C1（-1，-1，2），
則
CC1
=（-1，1，2），
A1C1
=（-1，-1，0），
A1C 
=（0，-2，-2）．（1分）
設(shè)E（x，y，z），則
CE
=（x，y+2，z），
EC1
=（-1-x，-1-y，2-z）．（3分）
∵|CE|=2|EC1|
∴
CE
=2
EC1
，得E（-
2
3
，-
4
3
，
4
3
）
∴
BE
=（
4
3
，-
4
3
，
4
3
），
設(shè)平面C1A1C的法向量為
m
=（x，y，z），則由
m•
A1C1
=0
m•
A1C
=0
，
得
-x-y=0
-2y-2z=0
，
取x=1，則y=-1，z=1．故
m
=（1，-1，1），
∵
BE
=
4
3
m
，
∴BE⊥平面A1CC1．（6分）
（2）由（1）知，平面C1A1C的法向量為
m
=（1，-1，1）而平面A1CA的一個法向量為
n
=（1，0，0），
則cos＜
m
，
n
＞=
m
•
n
|
m
||
n
|
=
1
3
=
3
3
，故二面角C1-A1C-A的余弦值-
3
3
．（12分）
點評：本題考查的知識點三視圖，線面垂直及二面角，其中建立空間坐標(biāo)系，將空間線面關(guān)系及夾角問題轉(zhuǎn)化為向量問題是解答的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

直線x=2與雙曲線C：x2-4y2=8的漸近線交于A，B兩點，設(shè)P為雙曲線上的任意一點，若
OP
=a
OA
+b
OB
（a，b∈R，O為坐標(biāo)原點），則a+b的取值范圍是（　　）
A、（-∞，-1]∪[1，+∞）
B、（-∞，-
1
2
]∪[
1
2
，+∞）
C、（-∞，-
2
]∪[
2
，+∞）
D、（-∞，-
2
2
]∪[
2
2
，+∞）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知等差數(shù)列數(shù)列{an}的前n項和為Sn，等比數(shù)列{bn}的各項均為正數(shù)，公比是q，且滿足：a1=3，b1=1，b2+S2=12，S2=b2q．
（1）求an與bn；
（2）設(shè)cn=anbn，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）把下列的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程（并說明對應(yīng)的曲線）：
①ρ=-4cosθ+2sinθ           
②ρcos（θ-
π
4
）=
2

（2）把下列的參數(shù)方程化為普通方程（并說明對應(yīng)的曲線）：
③
x=4tanφ
y=3secφ
（θ為參數(shù)）        
④
x=sinθ
y=cos2θ-7
（θ為參數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

等差數(shù)列{an}中，a1=1，a2n=2an+1（n∈N*），Sn是數(shù)列{an}的前n項和．
（Ⅰ）求an，Sn；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{bn}滿足
b1
a1
+
b2
a2
+…+
bn
an
=1-
1
2n
（n∈N*），求{bn}的前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若
C
r
12
=
C
2r-3
12
，則r=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知偶函數(shù)y=f（x）滿足：當(dāng)x≥2時，f（x）=（x-2）（a-x），a∈R，當(dāng)x∈[0，2）時，f（x）=x（2-x）
（Ⅰ）求f（x）表達式；
（Ⅱ）若直線y=1與函數(shù)y=f（x）的圖象恰有兩個公共點，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）試討論當(dāng)實數(shù)a、m滿足什么條件時，直線y=m和函數(shù)y=f（x）的圖象恰有k個公共點（k≥3），
且這k個公共點均勻分布在直線y=m上．（不要求過程）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的非常值函數(shù)，且對任意的x，y∈R有f（x+y）=f（x）f（y）．
（1）證明：f（0）=1；
（2）設(shè)A={（x，y）|f（x2）f（y2）＜f（1）}，B={（x，y）|f（x+y+m）=1}，若f（x）在R上是單調(diào)增函數(shù)，且A∩B=∅，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知C
 
0
n
+2C
 
1
n
+22C
 
2
n
+…+2nC
 
n
n
=729，則C
 
1
n
+C
 
3
n
+…=
 
．

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同步練習(xí)冊答案