Question

等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_2n=2a_n+1（n∈N^*），S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．
（Ⅰ）求a_n，S_n；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

=1-

1

2n

（n∈N^*），求{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè){a_n}的公差為d．由已知條件根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公差，由此能求出a_n=2n-1，Sn=n2．
（Ⅱ）由

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

=1-

1

2n

，得bn=

2n-1

2n

，由此利用錯(cuò)位相減法能求出{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè){a_n}的公差為d．
由a_2n=2a_n+1知，a₁+（2n-1）d=2a₁+2（n-1）d+1，
∴d=a₁+1=2．（2分）
∵a₁=1，∴a_n=2n-1，Sn=n2．（4分）
（Ⅱ）由

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

=1-

1

2n

，知

b1

a1

=1-

1

2

，
∴b1=

1

2

；（5分）
當(dāng)n≥2時(shí)，

b1 1 + b2 3 +…+ bn 2n-1 =1- 1 2n b1 1 + b2 3 +…+ bn-1 2n-3 =1- 1 2n-1

⇒

bn

2n-1

=

1

2n-1

-

1

2n

=

1

2n

．
綜上，bn=

2n-1

2n

（n∈N^*）．（8分）
∴

Tn= 1 21 + 3 22 +…+ 2n-3 2n-1 + 2n-1 2n 1 2 Tn= 1 22 + 3 23 +…+ 2n-3 2n + 2n-1 2n+1

⇒

1

2

Tn=

1

21

+

2

22

+

2

23

+…+

2

2n

-

2n-1

2n+1

（12分）⇒Tn=1+1+

1

2

+…+

1

2n-2

-

2n-1

2n

=1+

1- 1 2n-1

1- 1 2

-

2n-1

2n

=3-

1

2n-2

-

2n-1

2n

=3-

2n+3

2n

，
∴Tn=3-

2n+3

2n

．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用，是中檔題．