Question

已知函數(shù)f（x）=mxlnx（m＞0），f（x）在點（e，f（e））處的切線與x軸、y軸分別交于A、B兩點，且△AOB的面積為

e2

4

，證明：當x＞e時，對于任意正實數(shù)t不等式f（x+t）＜f（x）e^t恒成立．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，得到切線方程，分別令x=0，y=0，得到y(tǒng)，x軸上的截距，再由三角形的面積公式，可得m=1，將不等式轉(zhuǎn)化為

f(x+t)

ex+t

＜

f(x)

ex

，即證當x＞e，對于任意正實數(shù)t恒成立，構(gòu)造函數(shù)g（x）=

f(x)

ex

，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．

解答： 證明：f（x）=mxlnx（m＞0）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=m（lnx+1），
在點（e，f（e））處的切線斜率為f′（e）=2m，
切點為（e，me），
則在點（e，f（e））處的切線方程為y-me=2m（x-e），
即為y=2mx-me，
令x=0可得y=-me，令y=0可得x=

e

2

．
即有

1

2

•

e

2

•me=

e2

4

，解得m=1，
即有f（x）=xlnx．
不等式f（x+t）＜f（x）e^t可轉(zhuǎn)化為f（t+x）＜f（x）e^（t+x-x），
即證

f(x+t)

ex+t

＜

f(x)

ex

，當x＞e，對于任意正實數(shù)t恒成立．
設(shè)g（x）=

f(x)

ex

，
則g′（x）=

lnx+1-xlnx

ex

，
令h（x）=lnx+1-xlnx，h′（x）=

1

x

-lnx-1，h″（x）=-

1

x2

-

1

x

＜0，（x＞e）
故h'（x）在（e，+∞）上單減，又h'（e）=

1

e

-2＜0，
即有h′（x）＜h′（e）＜0，即h（x）在x＞e上遞減，
即有h（x）＜h（e）=2-e＜0，即為g′（x）＜0，g（x）在x＞e上遞減．
由x＞e時，對于任意正實數(shù)t，x+t＞x，
則有g(shù)（x+t）＞g（x），
即有不等式f（x+t）＜f（x）e^t恒成立．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線方程和判斷單調(diào)性，主要考查不等式恒成立的證明，利用條件將不等式進行轉(zhuǎn)換，構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強，難度較大．