Question

11．已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，滿足a₁=b₁=1，b₂-a₃=2b₃，a₃-2b₂=-1
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式
（2）設(shè)c_n=a_n+b_n，n∈N^*，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)數(shù)列{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，{b_n}是各項(xiàng)均為正數(shù)且公比為q的等比數(shù)列，運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通項(xiàng)公式；
（2）求出c_n=a_n+b_n=$\frac{1}{2}$（3-n）+（$\frac{1}{2}$）^n-1，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：分組求和，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)整理即可得到所求和．

解答 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，
{b_n}是各項(xiàng)均為正數(shù)且公比為q的等比數(shù)列，
由a₁=b₁=1，b₂-a₃=2b₃，a₃-2b₂=-1，
可得q-（1+2d）=2q²，1+2d-2q=-1，
解得d=-$\frac{1}{2}$，q=$\frac{1}{2}$，
可得a_n=a₁+（n-1）d=1-$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{1}{2}$（3-n）；
b_n=b₁q^n-1=（$\frac{1}{2}$）^n-1，n∈N*；
（2）c_n=a_n+b_n=$\frac{1}{2}$（3-n）+（$\frac{1}{2}$）^n-1，
可得數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{1}{2}$n（1+$\frac{3-n}{2}$）+$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$
=-$\frac{1}{4}$n²+$\frac{5}{4}$n-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：分組求和，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．