Question

9．在棱錐S-ABC中，已知四個頂點在球O₁的球面上，且SC⊥底面ABC，SC=2$\sqrt{35}$，AB=8$\sqrt{5}$，AC=20，BC=4，則A、B兩點的球面距離為2$\sqrt{10}$π．

Answer 1

分析 先求出cosC，可得sinC，進而求出△ABC外接圓的半徑，可得球O₁的半徑，求出球心角，即可求出A、B兩點的球面距離．

解答 解：設球O₁的半徑為R，△ABC外接圓的半徑為r，則
△ABC中，cosC=$\frac{400+16-320}{2×20×4}$=$\frac{3}{5}$，∴sinC=$\frac{4}{5}$，
∴2r=$\frac{8\sqrt{5}}{\frac{4}{5}}$=10$\sqrt{5}$，
∴r=5$\sqrt{5}$，
∴R=$\sqrt{（\sqrt{35}）^{2}+（5\sqrt{5}）^{2}}$=4$\sqrt{10}$，
∴cos∠AO₁B=$\frac{160+160-320}{2×4\sqrt{10}×4\sqrt{10}}$=0，
∴∠AO₁B=$\frac{π}{2}$，
∴A、B兩點的球面距離為=$\frac{π}{2}$×4$\sqrt{10}$=2$\sqrt{10}$π．
故答案為：2$\sqrt{10}$π．

點評 本題考查球面距離及其他計算，考查余弦定理，考查空間想象能力，是基礎題．