Question

15．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)任意正整數(shù)n，3a_n-2S_n=2．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求證：S_n+2S_n＜${S}_{n+1}^{2}$．

Answer 1

分析 （I）對(duì)任意正整數(shù)n，3a_n-2S_n=2，可得3a₁-2a₁=2，解得a₁．當(dāng)n≥2時(shí)，3a_n-1-2S_n-1=2，可得a_n=3a_n-1，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．（2）證明：由（I）可得：S_n=3ⁿ-1．作差代入S_n+2S_n-${S}_{n+1}^{2}$＜0，即可證明．＜${S}_{n+1}^{2}$．

解答 （I）解：∵對(duì)任意正整數(shù)n，3a_n-2S_n=2，∴3a₁-2a₁=2，解得a₁=2．
當(dāng)n≥2時(shí)，3a_n-1-2S_n-1=2，可得3a_n-3a_n-1-2a_n=0，化為a_n=3a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比為3，首項(xiàng)為2．
∴a_n=2×3^n-1．
（2）證明：由（I）可得：S_n=$\frac{2（{3}^{n}-1）}{3-1}$=3ⁿ-1．
∴S_n+2S_n-${S}_{n+1}^{2}$=（3ⁿ⁺²-1）（3ⁿ-1）-（3ⁿ⁺¹-1）²=-4×3ⁿ＜0，
∴S_n+2S_n＜${S}_{n+1}^{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．