Question

20．已知曲線y=$\frac{1}{3}$x³上一點P（2，$\frac{8}{3}$），求：
（1）曲線在點P處的切線方程；
（2）曲線過點P的切線方程．

Answer 1

分析 （1）要求曲線在點P處的切線方程，先利用導數(shù)求出在x=2處的導函數(shù)值，再結合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率，利用點斜式即可得到切線方程；
（2）設過點P的切線與曲線y=f（x）相切于點R，然后根據(jù)曲線y=f（x）在點R處切線的斜率列出方程，求出切點坐標，從而可求出切線方程．

解答 解：（1）f′（x）=x²，
則切線的斜率為f′（1）=2²=4，
由直線的點斜式方程得，
曲線在點P處的切線方程為y-$\frac{8}{3}$=4（x-2），
即12x-3y-16=0；
（2）設過點P的切線與曲線y=f（x）相切于點R（m，$\frac{1}{3}$m³），
曲線y=f（x）在點R處切線斜率為m²，
可得切線的方程為y-$\frac{1}{3}$m³=m²（x-m），
代入點P，可得$\frac{8}{3}$-$\frac{1}{3}$m³=m²（2-m），
解得，m=2或m=-1，
故切點R分別為（2，$\frac{8}{3}$）和（-1，-$\frac{1}{3}$），
過點P的切線方程為y-$\frac{8}{3}$=4（x-2）或y+$\frac{1}{3}$=x+1，
所以過點P的切線方程有兩條：12x-3y-16=0和3x-3y+2=0．

點評 本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，同時考查了計算能力和轉化的思想，解曲線的切線問題要特別注意是“在”還是“過”點．屬于中檔題．