Question

8．已知正數(shù)a，b滿(mǎn)足a+3b=5ab，實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤2}\\{x+2y≥5}\\{y-2≤0}\end{array}\right.$，若z=ax+by，求當(dāng)3a+4b取最小值時(shí)z的最大值．

Answer 1

分析 利用基本不等式求出a，b，然后由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案．

解答 解：正數(shù)a，b滿(mǎn)足a+3b=5ab，可得：$\frac{1}+\frac{3}{a}=5$，則3a+4b=$\frac{1}{5}$（3a+4b）（$\frac{1}+\frac{3}{a}$）=$\frac{1}{5}$（$\frac{3a}+\frac{12b}{a}$+13）
≥$\frac{1}{5}×（2\sqrt{\frac{3a}×\frac{12b}{a}}+13）$=3，當(dāng)且僅當(dāng)a=1，b=$\frac{1}{2}$，取等號(hào)．
由約束條件$\left\{\begin{array}{l}x-y≤2\\ x+2y≥5\\ y-2≤0\end{array}\right.$作出可行域如圖，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}x-y=2\\ y-2=0\end{array}\right.$，解得A（4，2），
由z=x+$\frac{1}{2}$y，得y=-2x+2z，
由圖可知，當(dāng)直線y=-2x+2z過(guò)點(diǎn)A（4，2）時(shí)，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為：4+2×$\frac{1}{2}$=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的應(yīng)用，簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．