Question

17．如圖，已知A是橢圓M：x²+5y²=5與y軸正半軸的交點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓M的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l與橢圓M交于B，C兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若OB=OC，求B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（Ⅱ）是否存在直線l，使得AB=AC？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （I）由x²+5y²=5可得$\frac{{x}^{2}}{5}+{y}^{2}=1$，A（0，1），F(xiàn)（2，0），由橢圓的對(duì)稱性可知：滿足|OB|=|OC|的直線l有兩種情況：（i）當(dāng)l⊥x軸時(shí)，把x=2代入橢圓方程可得B，C的坐標(biāo)．（ii）當(dāng)直線l與x軸重合時(shí)，直接得出B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
（II）（i）當(dāng)直線l與x軸重合時(shí)，B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)為頂點(diǎn)．滿足|AB|=|AC|；（ii）當(dāng)l⊥x軸時(shí)，不符合條件；（iii）當(dāng)直線l的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），線段BC的中點(diǎn)M（x₀，y₀）．與橢圓方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式，利用k_AM•k=-1解出即可．

解答 解：（I）由x²+5y²=5可得$\frac{{x}^{2}}{5}+{y}^{2}=1$，
∴a²=5，b=1，c=2．
∴A（0，1），F(xiàn)（2，0），
由橢圓的對(duì)稱性可知：滿足|OB|=|OC|的直線l有兩種情況：
（i）當(dāng)l⊥x軸時(shí)，把x=2代入橢圓方程可得$\frac{4}{5}+{y}^{2}=1$，解得y=$±\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴$B（2，\frac{\sqrt{5}}{5}）$，C$（2，-\frac{\sqrt{5}}{5}）$．
（ii）當(dāng)直線l與x軸重合時(shí)，B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)為$（\sqrt{5}，0）$，$（-\sqrt{5}，0）$．
（II）（i）當(dāng)直線l與x軸重合時(shí)，B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)為$（\sqrt{5}，0）$，$（-\sqrt{5}，0）$．滿足|AB|=|AC|；
（ii）當(dāng)l⊥x軸時(shí)，不符合條件；
（iii）當(dāng)直線l的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），線段BC的中點(diǎn)M（x₀，y₀）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{{x}^{2}+5{y}^{2}=5}\end{array}\right.$，
化為（1+5k²）x²-20k²x+20k²-5=0，
∴x₁+x₂=$\frac{20{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}$，x₀=$\frac{10{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}$，y₀=$\frac{-2k}{1+5{k}^{2}}$，
k_AM=$\frac{{y}_{0}-1}{{x}_{0}}$=-$\frac{5{k}^{2}+2k+1}{10{k}^{2}}$．
要使|AB|=|AC|，則AM⊥l，
∴k_AM•k=-1，
∴-$\frac{5{k}^{2}+2k+1}{10{k}^{2}}$•k=-1．
化為5k²-8k+1=0，解得k=$\frac{4±\sqrt{11}}{5}$．
∴直線l的方程為：y=$\frac{4±\sqrt{11}}{5}$（x-2）．
綜上可得：滿足條件的直線l的方程為y=0，y=$\frac{4±\sqrt{11}}{5}$（x-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式，考查了分類討論思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．