Question

7．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=a_n²+a_n，用[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則$[{\frac{1}{{{a_1}+1}}+\frac{1}{{{a_2}+1}}+…+\frac{1}{{{a_{2014}}+1}}}]$的值等于（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 a_n+1=a_n²+a_n，a₁=$\frac{1}{2}$，可得${a}_{n+1}-{a}_{n}={a}_{n}^{2}$＞0，因此數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增．a(chǎn)₂=$（\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{2}$=$\frac{3}{4}$，${a}_{3}=（\frac{3}{4}）^{2}+\frac{3}{4}$=$\frac{21}{16}$＞1，可得0＜$\frac{1}{{a}_{2015}}$＜1．變形$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}+1）}$=$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n}+1}$，即$\frac{1}{{a}_{n}+1}=\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}$．利用“裂項(xiàng)求和”可得：$\frac{1}{{a}_{1}+1}+\frac{1}{{a}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{a}_{2014}+1}$=$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{2015}}$，即可得出．

解答 解：∵a_n+1=a_n²+a_n，a₁=$\frac{1}{2}$，
∴${a}_{n+1}-{a}_{n}={a}_{n}^{2}$＞0，
∴a_n+1＞a_n，
∴數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增，
a₂=$（\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{2}$=$\frac{3}{4}$，
${a}_{3}=（\frac{3}{4}）^{2}+\frac{3}{4}$=$\frac{21}{16}$＞1，
∴0＜$\frac{1}{{a}_{2015}}$＜1
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}+1）}$=$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n}+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}+1}=\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}$．
∴$\frac{1}{{a}_{1}+1}+\frac{1}{{a}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{a}_{2014}+1}$
=$（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{2}}）$+$（\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{3}}）$+…+$（\frac{1}{{a}_{2014}}-\frac{1}{{a}_{2015}}）$
=2-$\frac{1}{{a}_{2015}}$
∴$1＜2-\frac{1}{{a}_{2015}}＜2$．
∴$[{\frac{1}{{{a_1}+1}}+\frac{1}{{{a_2}+1}}+…+\frac{1}{{{a_{2014}}+1}}}]$=1．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推式的應(yīng)用、變形能力、[x]的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．