Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，求證：對于任意不小于3的正整數(shù)n，都有f（n）$＞\frac{n}{n+1}$成立．

Answer 1

分析 要證f（n）＞$\frac{n}{n+1}$（n∈N^*且n≥3），只需證$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n}+1}$＞$\frac{n}{n+1}$，即證1-$\frac{2}{{2}^{n}+1}$＞1-$\frac{1}{n+1}$，也就是證明2ⁿ-1＞2n，利用數(shù)學歸納法證明2ⁿ-1＞2n（n∈N^*，且n≥3）．

解答 證明：要證f（n）＞$\frac{n}{n+1}$（n∈N^*且n≥3），
只需證$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n}+1}$＞$\frac{n}{n+1}$，即證1-$\frac{2}{{2}^{n}+1}$＞1-$\frac{1}{n+1}$，
也就是證明2ⁿ-1＞2n．
下面用數(shù)學歸納法來證明2ⁿ-1＞2n（n∈N^*，且n≥3）．
①當n=3時，左邊=7，右邊=6，左邊＞右邊，不等式成立．
②假設(shè)當n=k（k∈N^*，且k≥3）時不等式成立，即2^k-1＞2k，
則當n=k+1時，2^k+1-1=2•2^k-1=2（2^k-1）+1＞2•2k+1=2（k+1）+2k-1＞2（k+1），
故當n=k+1時，不等式也成立．
綜上所述，當n∈N^*且n≥3時，2ⁿ-1＞2n成立．
所以f（n）＞$\frac{n}{n+1}$（n∈N^*且n≥3）成立．

點評 本題考查不等式的證明，考查數(shù)學歸納法，掌握數(shù)學歸納法的證明步驟是解題的關(guān)鍵．