Question

11．設雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＜0，b＜0）的右焦點為F，右頂點為A，過F作AF的垂線與雙線交于B，C兩點，過B，C分別作AC，AB的垂線交于D，若D到直線BC的距離不大于a+c，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（1，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 由雙曲線的對稱性知D在x軸上，設D（x，0），則由BD⊥AB得$\frac{\frac{^{2}}{a}}{c-x}•\frac{\frac{^{2}}{a}}{c-a}$=-1，求出c-x，利用D到直線BC的距離不大于a+c，即可得出結論．

解答 解：由題意，A（a，0），B（c，$\frac{^{2}}{a}$），C（c，-$\frac{^{2}}{a}$），由雙曲線的對稱性知D在x軸上，
設D（x，0），則由BD⊥AC得-$\frac{\frac{^{2}}{a}}{c-x}•\frac{\frac{^{2}}{a}}{c-a}$=-1，
∴c-x=-$\frac{^{4}}{{a}^{2}（a-c）}$，
∵D到直線BC的距離不大于a+c，
∴c-x=|-$\frac{^{4}}{{a}^{2}（a-c）}$|≤a+c，
∴$\frac{^{4}}{{a}^{2}}$≤c²-a²=b²，
∴0＜$\frac{a}$≤1，
∵e=$\sqrt{1+（\frac{a}）^{2}}$，
∴1＜e≤$\sqrt{2}$
∴雙曲線的離心率的取值范圍是（1，$\sqrt{2}$]．
故答案為：（1，$\sqrt{2}$]

點評 本題主要考查雙曲線離心率的計算，根據(jù)條件求出交點D的坐標是解決本題的關鍵．考查學生的計算能力．