Question

2．已知三條直線l₁：2x-y+a=0（a＞0），直線l₂：-4x+2y-1=0和l₃：x+y+3=0，且l₁與l₂間的距離是$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
（1）求a的值；
（2）求經(jīng)過直線l₁與l₃的交點(diǎn)，且與點(diǎn)（1，3）距離為3的直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由l₁與l₂的距離是$\frac{\sqrt{5}}{2}$，代入兩條平行直線間的距離公式，可得一個關(guān)于a的方程，解方程即可求a的值；
（2）求出交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出直線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可．

解答 解：（1）l₂即2x-y+$\frac{1}{2}$=0，
∴l(xiāng)₁與l₂的距離d=$\frac{|a-\frac{1}{2}|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∴|2a-1|=5．
∵a＞0，∴a=3．
（2）直線l₁與l₃的交點(diǎn)，由：$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+3=0}\\{x+y+3=0}\end{array}\right.$，解得：交點(diǎn)坐標(biāo)（-2，-1）．
當(dāng)直線的斜率垂直時，設(shè)所求的直線方程為：y+1=k（x+2），即：kx-y+2k-1=0．
點(diǎn)（1，3）到直線的距離為3，
可得：$\frac{|k-3+2k-1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=3，
解得k=$\frac{7}{24}$，
所求直線方程7x-24y-10=0．
當(dāng)直線的斜率不存在時，x=-2，滿足題意．
所求直線方程為：x=-2或7x-24y-10=0．

點(diǎn)評 本題考查直線方程的求法，直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，平行線之間的距離的求法，考查計(jì)算能力．