Question

12．如表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾組對照數(shù)據(jù)

x	3	4	5	6
y	2.5	3.5	4	5

（1）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$；
（2）已知該廠技術(shù)改造前100噸甲產(chǎn)品能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤．試根據(jù)（2）求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)所給的這組數(shù)據(jù)求出利用最小二乘法所需要的幾個(gè)數(shù)據(jù)，代入求系數(shù)b的公式，求得結(jié)果，再把樣本中心點(diǎn)代入，求出$\widehat{a}$的值，得到線性回歸方程．
（2）根據(jù)上一問所求的線性回歸方程，把x=100代入線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低標(biāo)準(zhǔn)煤的數(shù)量．

解答 解：（1）由對照數(shù)據(jù)，計(jì)算得$\overline{x}$=4.5，$\overline{y}$=3.5，
∴$\widehat$=$\frac{3×2.5+4×3.5+5×4+6×5-4×4.5×3.5}{9+16+25+36-4×4．{5}^{2}}$=0.8
∴$\widehat{a}$=0.15，
∴所求線性回歸方程為$\widehat{y}$=0.8x+0.15；
（2）由（1）求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低
90-（0.8×100+0.15）=9.85（噸）．

點(diǎn)評 本題考查線性回歸方程的求法和應(yīng)用，本題是非常符合新課標(biāo)中對于線性回歸方程的要求，注意通過這個(gè)題目掌握一類問題，注意數(shù)字的運(yùn)算．