Question

18．已知函數(shù)f（x）=|$\frac{1}{x}$-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）-3的零點；
（2）利用定義法判斷函數(shù)f（x）在（0，1]上的單調(diào)性，并求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若存在實數(shù)a、b（a＜b且a≠0），使得集合{y|y=f（x），a≤x≤b}=[ma，mb]，求非零實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）畫出函數(shù)圖象，利用函數(shù)圖象的交點問題判斷即可．
（2）根據(jù)單調(diào)性的定義證明，運用圖象寫出單調(diào)區(qū)間，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=|$\frac{1}{x}$-1|．
∴畫出函數(shù)圖象；

根據(jù)圖象判斷有2個交點，
故函數(shù)y=f（x）-3有2個零點；
（2）設(shè)任意兩個實數(shù)x₁，x₂∈（0，1]，且x₁＜x₂，
$\frac{1}{{x}_{1}}$$＞\frac{1}{{x}_{2}}$≥1，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$-1$＞\frac{1}{{x}_{2}}$-1≥0，
∵函數(shù)f（x）=|$\frac{1}{x}$-1|．
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴（-∞，0），（1，+∞）單調(diào)遞增；（0，1）單調(diào)遞減
（3）根據(jù)題意與函數(shù)關(guān)系式得出；
f（x）與y=mx有2個交點，
根據(jù)圖象可得出：y=1-$\frac{1}{x}$，x＞1，與y=mx有2個交點，
y′=$\frac{1}{{x}^{2}}$，∴$\frac{1}{{x}_{0}^{2}}$=m，x₀=$\frac{1}{\sqrt{m}}$，切點為（$\frac{1}{\sqrt{m}}$，$\sqrt{m}$）在y=1-$\frac{1}{x}$，x＞1的圖象上，
∴$\sqrt{m}$=$1-\sqrt{m}$，m=$\frac{1}{4}$，
∴m的范圍為：（0，$\frac{1}{4}$）

點評 本題綜合考察了函數(shù)性質(zhì)，定義，運用數(shù)形結(jié)合的思想解決零點問題，屬于難度較大的題目．