Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）在R上存在導(dǎo)函數(shù)f′（x），對(duì)?x∈R，f（-x）+f（x）=x²，且當(dāng)x∈（0，+∞），f′（x）＞x，若有f（1-a）-f（a）≥$\frac{1}{2}$-a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，$\frac{1}{2}$]
• B． [$\frac{1}{2}$，+∞）
• C． （-∞，2]
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²，可判函數(shù)g（x）為奇函數(shù)且在R上是增函數(shù)，由函數(shù)的性質(zhì)可得a的不等式，解不等式可得．

解答 解：∵f（-x）+f（x）=x²，∴f（x）-$\frac{1}{2}$x² +f（-x）-$\frac{1}{2}$x² =0，
令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²，∵g（-x）+g（x）=f（-x）-$\frac{1}{2}$x²+f（x）-$\frac{1}{2}$x²=0，
∴函數(shù)g（x）為奇函數(shù)．∵x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＞x．
∴x∈（0，+∞）時(shí)，g′（x）=f′（x）-x＞0，
故函數(shù)g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，函數(shù)g（x）在（-∞，0）上也是增函數(shù)，
由f（0）=0，可得g（x）在R上是增函數(shù)．
f（1-a）-f（a）≥$\frac{1}{2}$-a等價(jià)于f（1-a）-$\frac{1}{2}$（1-a）²≥f（a）-$\frac{1}{2}$a²，
即g（1-a）≥g（a），∴1-a≥a，解得a≤$\frac{1}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由已知條件構(gòu)造出g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}{x}^{2}$是解決本題的關(guān)鍵，屬中檔題．