Question

20．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow$=（cosα，sinα），設$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$-t$\overrightarrow$（t為實數）．
（1）t=1 時，若$\overrightarrow{c}$∥$\overrightarrow$，求2cos²α-sin2α的值；
（2）若α=$\frac{π}{4}$，求|$\overrightarrow{c}$|的最小值，并求出此時向量$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{c}$方向上的投影．

Answer 1

分析 （1）利用向量共線定理可得tanα，再利用同角三角函數基本關系式即可得出；
（2）利用向量模的計算公式、二次函數的單調性、向量投影計算公式即可得出．

解答 解：（1）t=1，$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$-t$\overrightarrow$=（1-cosα，2-sinα）．
∵$\overrightarrow{c}$∥$\overrightarrow$，
∴cosα（1-sinα）-sinα（1-cosα）=0，
∴tanα=2；
∴2cos²α-sin2α=$\frac{2co{s}^{2}α-2sinαcosα}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$=$\frac{2-2tanα}{1+ta{n}^{2}α}$=-$\frac{2}{5}$．
（2）α=$\frac{π}{4}$，|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{（1-\frac{\sqrt{2}}{2}t）^{2}+（2-\frac{\sqrt{2}}{2}t）^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}-3\sqrt{2}t+5}$=$\sqrt{（t-\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}+\frac{1}{2}}$，
當t=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$ 時，$|\overrightarrow{c}{|}_{min}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
當t=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$ 時，$α=\frac{π}{4}$時，
$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$$\overrightarrow$=（1，2）-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$$（\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}）$=$（-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$．
∴向量$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{c}$方向上的投影=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|}$=$\frac{-\frac{1}{2}+2×\frac{1}{2}}{\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}×2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了向量共線定理、同角三角函數基本關系式、向量模的計算公式、二次函數的單調性、向量投影計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．