若點O和點F分別為橢圓
x2
4
+
y2
3
=1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則
OP
•
FP
的最大值為
 
．
考點：橢圓的簡單性質(zhì)
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：設(shè)P（x，y），由數(shù)量積運算及點P在橢圓上可把
OP
•
FP
表示為x的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可求其最大值．
解答： 解：設(shè)P（x，y），
則
OP
•
FP
=（x，y）•（x+1，y）=x2+x+y2，
又點P在橢圓上，所以x2+x+y2=x2+x+（3-
3
4
x2）=
1
4
x2+x+3=
1
4
（x+2）2+2，
又-2≤x≤2，
所以當x=2時，
1
4
（x+2）2+2取得最大值為6，即
OP
•
FP
的最大值為6，
故答案為：6．
點評：本題考查平面向量的數(shù)量積運算、橢圓的簡單性質(zhì)，屬中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）滿足f（x-1）+f（-x+1）=0，且有3個根，則x1+x2+x3=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在區(qū)間[0，2]上隨機取一個數(shù)x，sin
π
2
x的值介于0到
1
2
之間的概率為（　�。�
A、
1
3
B、
2
π
C、
1
2
D、
2
3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知F1，F(xiàn)2為橢圓E的左右焦點，點P（1，
3
2
）為其上一點，且有|PF1|+|PF2|=4
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）過F1的直線l1與橢圓E交于A，B兩點，過F2與l1平行的直線l2與橢圓E交于C，D兩點，求四邊形ABCD的面積SABCD的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，其左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，短軸長為2
3
．點P在橢圓C上，且滿足△PF1F2的周長為6．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點（-1，0）的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，試問在x軸上是否存在一個定點M，使得
MA
•
MB
恒為定值？若存在，求出該定值及點M的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線C的兩個焦點的坐標為為F1（-6，0），F(xiàn)2（6，0），且經(jīng)過點P（-5，2）．
（1）求雙曲線C的標準方程；
（2）求以雙曲線C的左頂點為焦點的拋物線的標準方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），離心率為
3
2
，長軸長為4，圓O：x2+y2=1（O為原點），直線l：y=kx+m是圓O的一條切線，且直線l與橢圓M交于不同的兩點A、B．
（Ⅰ）求橢圓M的標準方程；
（Ⅱ）求△AOB的面積取最大值時直線l的斜率k的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點E在棱PB上．
（Ⅰ）求證：平面AEC⊥平面PDB；
（Ⅱ）當PD=
2
AB且E為PB的中點時，求AE與平面PDB所成的角的大小．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求二面角A-PB-D的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線C的頂點為原點，其焦點F（0，c）（c＞0）到直線l：x-y-2=0的距離為
3
2
2
．
（1）求拋物線C的方程；
（2）已知A，B是拋物線C上的兩點，過A，B兩點分別作拋物線C的切線，兩條切線的交點為M，設(shè)線段AB的中點為N，證明：存在λ∈R，使得
MN
=λ
OF
；
（3）在（2）的條件下，若拋物線C的切線BM與y軸交于點R，直線AB兩點的連線過點F，試求△ABR面積的最小值．

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同步練習冊答案