Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若在定義域上不單調(diào)，求的取值范圍；

（2）設(shè)，，分別是的極大值和極小值，且，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù) 單調(diào)遞增或單調(diào)遞減時，參數(shù) 的取值范圍為，則可知函數(shù) 在定義域上不單調(diào)時， 的取值范圍為 ；（2）易知 ，設(shè) 的兩個根為 ，并表示出，則，令，則，再利用導(dǎo)數(shù)法求的取值范圍.

詳解：

由已知，

（1）①若在定義域上單調(diào)遞增，則，即在上恒成立，

而，所以；

②若在定義域上單調(diào)遞減，則，即在上恒成立，

而，所以.

因為在定義域上不單調(diào)，所以，即.

（2）由（1）知，欲使在有極大值和極小值，必須.

又，所以.

令的兩根分別為，，

即的兩根分別為，，于是.

不妨設(shè)，

則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，，

所以

.

令，于是，

，

由，得，

又，所以.

因為，

所以在上為減函數(shù)，

所以.