Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=（x-1）³-ax-b，x∈R，其中a，b∈R．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）存在極值點(diǎn)x₀，且f（x₁）=f（x₀），其中x₁≠x₀，求證：x₁+2x₀=3；
（3）設(shè)a＞0，函數(shù)g（x）=|f（x）|，求證：g（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值不小于$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，討論a≤0時(shí)，f′（x）≥0，f（x）在R上遞增；當(dāng)a＞0時(shí)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（2）f′（x₀）=0，可得3（x₀-1）²=a，分別計(jì)算f（x₀），f（3-2x₀），化簡整理即可得證；
（3）要證g（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值不小于$\frac{1}{4}$，即證在[0，2]上存在x₁，x₂，使得f（x1）-f（x₂）≥$\frac{1}{2}$．討論當(dāng)a≥3時(shí)，當(dāng)0＜a＜3時(shí)，運(yùn)用單調(diào)性和極值，化簡整理即可得證．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=（x-1）³-ax-b的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=3（x-1）²-a，
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）≥0，f（x）在R上遞增；
當(dāng)a＞0時(shí)，當(dāng)x＞1+$\sqrt{\frac{a}{3}}$或x＜1-$\sqrt{\frac{a}{3}}$時(shí)，f′（x）＞0，
當(dāng)1-$\sqrt{\frac{a}{3}}$＜x＜1+$\sqrt{\frac{a}{3}}$，f′（x）＜0，
可得f（x）的增區(qū)間為（-∞，1-$\sqrt{\frac{a}{3}}$），（1+$\sqrt{\frac{a}{3}}$，+∞），減區(qū)間為（1-$\sqrt{\frac{a}{3}}$，1+$\sqrt{\frac{a}{3}}$）；
（2）證明：f′（x₀）=0，可得3（x₀-1）²=a，
由f（x₀）=（x₀-1）³-3x₀（x₀-1）²-b=（x₀-1）²（-2x₀-1）-b，
f（3-2x₀）=（2-2x₀）³-3（3-2x₀）（x₀-1）²-b
=（x₀-1）²（8-8x₀-9+6x₀）-b=（x₀-1）²（-2x₀-1）-b，
即為f（3-2x₀）=f（x₀）=f（x₁），
即有3-2x₀=x₁，即為x₁+2x₀=3；
（3）證明：要證g（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值不小于$\frac{1}{4}$，
即證在[0，2]上存在x₁，x₂，使得f（x₁）-f（x₂）≥$\frac{1}{2}$．
當(dāng)a≥3時(shí)，f（x）在[0，2]遞減，f（2）=1-2a-b，f（0）=-1-b，
f（0）-f（2）=2a-2≥4＞$\frac{1}{2}$，遞減，成立；
當(dāng)0＜a＜3時(shí)，f（1-$\sqrt{\frac{a}{3}}$）=（-$\sqrt{\frac{a}{3}}$）³-a（1-$\sqrt{\frac{a}{3}}$）-b=-$\frac{a}{3}$$\sqrt{\frac{a}{3}}$-a+a$\sqrt{\frac{a}{3}}$-b
=$\frac{2a}{3}$$\sqrt{\frac{a}{3}}$-a-b，
f（1+$\sqrt{\frac{a}{3}}$）=（$\sqrt{\frac{a}{3}}$）³-a（1+$\sqrt{\frac{a}{3}}$）-b=$\frac{a}{3}$$\sqrt{\frac{a}{3}}$-a-a$\sqrt{\frac{a}{3}}$-b
=-$\frac{2a}{3}$$\sqrt{\frac{a}{3}}$-a-b，
f（2）=1-2a-b，f（0）=-1-b，
f（2）-f（0）=2-2a，
若0＜a≤$\frac{3}{4}$時(shí)，f（2）-f（0）=2-2a≥$\frac{1}{2}$成立；
若a＞$\frac{3}{4}$時(shí)，f（1-$\sqrt{\frac{a}{3}}$）-f（1+$\sqrt{\frac{a}{3}}$）=$\frac{4a}{3}$$\sqrt{\frac{a}{3}}$＞$\frac{1}{2}$成立．
綜上可得，g（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值不小于$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和最值，考查不等式的證明，注意運(yùn)用分類討論的思想方法和轉(zhuǎn)化思想，考查分析法的證明，以及化簡整理的運(yùn)算能力，屬于難題．