【題目】設(shè)橢圓，定義橢圓C的“相關(guān)圓”E為:.若拋物線的焦點與橢圓C的右焦點重合，且橢圓C的短軸長與焦距相等.

（1）求橢圓C及其“相關(guān)圓”E的方程；

（2）過“相關(guān)圓”E上任意一點P作其切線l，若l 與橢圓交于A,B兩點，求證:為定值（為坐標原點）；

（3）在（2）的條件下，求面積的取值范圍.

【答案】（1），；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）由題設(shè)知，又，從而可得，得橢圓方程，及相關(guān)圓方程；

（2）對直線斜率進行討論，斜率不存在時，直接寫出直線方程，求出坐標，得，

斜率存在時，設(shè)直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立方程組，消元后得關(guān)于的二次方程，有韋達定理得，由直線與圓相切得關(guān)系，計算也可得，定值．

（3）由于是“相關(guān)圓”半徑，所以，結(jié)合韋達定理求得，并得到其范圍，從而得面積的范圍．

（1）拋物線的焦點是，與橢圓的一個焦點重合，∴，又，所以，

橢圓方程為，“相關(guān)圓”的方程為．

（2）當直線斜率不存在時，不妨設(shè)其方程為，則，可得．

當直線斜率存在時，設(shè)其方程為，設(shè)，由得，

，即，

由韋達定理得，．

因為直線與圓相切，所以，整理得，

所以，所以，，為定值．

（3）由于，因此求面積的取值范圍只要求弦長的取值范圍．

當直線斜率不存在時，，，

當直線斜率存在時，

，

時，0，

時，，

∴，即，當且僅當即時，．

所以的取值范圍是，

故面積的取值范圍是．

練習冊系列答案
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【題目】已知橢圓：（），過原點的兩條直線和分別與交于點、和、，得到平行四邊形.

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（Ⅰ）求橢圓的方程

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（1）若為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；

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（1）求函數(shù)的最大值與最小值；

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【題目】已知圓，線段、都是圓的弦，且與垂直且相交于坐標原點，如圖所示，設(shè)△的面積為，設(shè)△的面積為.

（1）設(shè)點的橫坐標為，用表示；

（2）求證：為定值；

（3）用、、、表示出，試研究是否有最小值，如果有，求出最小值，并寫出此時直線的方程；若沒有最小值，請說明理由.

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【題目】汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況. 下列敘述中正確的是（ ）

A. 消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米

B. 以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多

C. 甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，消耗10升汽油

D. 某城市機動車最高限速80千米/小時. 相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油

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【題目】已知頂點為原點的拋物線C的焦點與橢圓的上焦點重合，且過點.

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【題目】已知二次函數(shù)的圖象的頂點坐標為,且過坐標原點O,數(shù)列的前n項和為,點()在二次函數(shù)的圖象上.

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(2)設(shè)(),數(shù)列的前n項和為,若對恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;

(3)在數(shù)列中是否存在這樣的一些項,,,,…,…(),這些項能夠依次構(gòu)成以為首項,q(,)為公比的等比數(shù)列?若存在,寫出關(guān)于k的表達式;若不存在,說明理由.

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