【題目】已知二次函數(shù)的圖象的頂點坐標為,且過坐標原點O,數(shù)列的前n項和為,點()在二次函數(shù)的圖象上.

(1)求數(shù)列的表達式;

(2)設(),數(shù)列的前n項和為,若恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;

(3)在數(shù)列中是否存在這樣的一些項,,,,…,…(),這些項能夠依次構(gòu)成以為首項,q(,)為公比的等比數(shù)列?若存在,寫出關(guān)于k的表達式;若不存在,說明理由.

【答案】(1) () (2)見解析 (3) 存在,,().

【解析】

(1)先求出,通過討論n的范圍,從而得到數(shù)列的通項公式;

(2)通過討論n的奇偶性,從而求出的表達式,問題轉(zhuǎn)化為使(n為正偶數(shù))恒成立即可;

(3)通過討論公比的奇偶性,從而得到答案.

(1)由題意得,

(),

時,,

時,適合上式,

∴數(shù)列的通項公式是:();

(2)∵,(),

,

由(1)得:數(shù)列是以1為首項,公差為的等差數(shù)列,

①當,時,

,

,

②當,時,

,

,要使恒成立,

只要使(n為正偶數(shù))恒成立,

即使n為正偶數(shù)恒成立.

;

(3)由知,數(shù)列中每一項都不可能是偶數(shù),

①如存在以為首項,公比q24的數(shù)列,,此時中每一項除第一項外都是偶數(shù),

故不存在以為首項,公比為偶數(shù)的數(shù)列;

時,顯然不存在這樣的數(shù)列,

時,若存在以為首項,公比為3的數(shù)列,,則,

,,,

∴存在滿足條件的數(shù)列,且,().

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3)在(2)的條件下,求面積的取值范圍.

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3)求△P1P2F面積的最大值.

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【題目】定義:對于數(shù)列,如果存在常數(shù),使對任意正整數(shù),總有成立,那么我們稱數(shù)列﹣擺動數(shù)列

1)設,,,判斷數(shù)列、是否為﹣擺動數(shù)列,并說明理由;

2)已知﹣擺動數(shù)列滿足:,.求常數(shù)的值;

3)設,,且數(shù)列的前項和為.求證:數(shù)列﹣擺動數(shù)列,并求出常數(shù)的取值范圍.

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【題目】已知橢圓的離心率為,焦距為,斜率為k的直線l與橢圓M有兩個不同的交點AB

1)求橢圓M的方程;

2)設P(﹣2,0),直線PA與橢圓M的另一個交點為C,直線PB與橢圓M的另一個交點為D,若CD與點共線,求斜率k的值.

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【題目】某網(wǎng)購平臺為了解某市居民在該平臺的消費情況,從該市使用其平臺且每周平均消費額超過100元的人員中隨機抽取了100名,并繪制如圖所示頻率分布直方圖,已知中間三組的人數(shù)可構(gòu)成等差數(shù)列.

(1)求的值;

2)分析人員對100名調(diào)查對象的性別進行統(tǒng)計發(fā)現(xiàn),消費金額不低于300元的男性有20人,低于300元的男性有25人,根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下列列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認為消費金額與性別有關(guān)?

(3)分析人員對抽取對象每周的消費金額與年齡進一步分析,發(fā)現(xiàn)他們線性相關(guān),得到回歸方程.已知100名使用者的平均年齡為38歲,試判斷一名年齡為25歲的年輕人每周的平均消費金額為多少.(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值代替)

列聯(lián)表

男性

女性

合計

消費金額

消費金額

合計

臨界值表:

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

,其中

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【題目】某校辨論隊計劃在周六、周日各參加一場辨論賽,分別由正、副隊長負責,已知該校辯論隊共有10位成員(包含正、副隊長),每場比賽除負責人外均另需3位隊員(同一隊員可同時參加兩天的比賽,正、副隊長只能參加一場比賽).假設正副隊長分別將各自比賽通知的信息獨立、隨機地發(fā)給辯論隊8名隊員中的3位,且所發(fā)信息都能收到.

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