【題目】在邊長為2的菱形中,,將菱形沿對角線對折,使二面角的余弦值為,則所得三棱錐的內(nèi)切球的表面積為( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
作出圖形,利用菱形對角線相互垂直的性質(zhì)得出DN⊥AC,BN⊥AC,可得出二面角B﹣AC﹣D的平面角為∠BND,再利用余弦定理求出BD,可知三棱錐B﹣ACD為正四面體,可得出內(nèi)切球的半徑R,再利用球體的表面積公式可得出答案.
如下圖所示,
易知△ABC和△ACD都是等邊三角形,取AC的中點(diǎn)N,則DN⊥AC,BN⊥AC.
所以,∠BND是二面角B﹣AC﹣D的平面角,過點(diǎn)B作BO⊥DN交DN于點(diǎn)O,可得BO⊥平面ACD.
因?yàn)樵凇?/span>BDN中,,所以,BD2=BN2+DN2﹣2BNDNcos∠BND,
則BD=2.
故三棱錐A﹣BCD為正四面體,則其內(nèi)切球半徑為正四面體高的,又正四面體的高為棱長的,故.
因此,三棱錐A﹣BCD的內(nèi)切球的表面積為.
故選:C.
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(Ⅰ)討論的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)時,證明:;
(Ⅲ)求證:對任意正整數(shù),都有 (其中為自然對數(shù)的底數(shù)).
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(1)根據(jù)圖象求函數(shù)解析式;
(2)若甲車間先投產(chǎn),1小時后乙車間再投產(chǎn),求該廠兩車間都投產(chǎn)時刻的污水排放量;
(3)由于受工廠污水處理能力的影響,環(huán)保部門要求該廠兩車間任意時刻的污水排放量之和不超過,若甲車間先投產(chǎn),為滿足環(huán)保要求,乙車間比甲車間至少需推遲多少小時投產(chǎn)?
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【題目】紙上寫有1,2,…,n這n個正整數(shù),第1步劃去前面4個數(shù)1,2,3,4在n的后面寫上劃去的4個數(shù)的和10;第2步再劃去前面的4個數(shù)5,6,7,8在最后寫上劃去的4個數(shù)的和26:如此下去(即每步劃去前面4個數(shù),在最后面寫上劃去的4個數(shù)的和)
(1)若最后只剩下一個數(shù),則n應(yīng)滿足的充要條件是什么?
(2)取n=2002到最后只剩下一個數(shù)為止,所有寫出的數(shù)(包括原來的1,2…,2002)的總和是多少?
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【題目】一幅標(biāo)準(zhǔn)的三角板如圖(1)中,為直角,,為直角,,且,把與拼齊使兩塊三角板不共面,連結(jié)如圖(2).
(1)若是的中點(diǎn),求證:;
(2)在《九章算術(shù)》中,稱四個面都是直角三角形的三棱錐為“鱉臑”,若圖(2)中,三棱錐的體積為,則圖(2)是否為鱉臑?說明理由.
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【題目】已知關(guān)于的一元二次函數(shù),從集合中隨機(jī)取一個數(shù)作為此函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù),從集合中隨機(jī)取一個數(shù)作為此函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù).
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(2)若,求函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)的概率.
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