Question

【題目】紙上寫有1，2，…，n這n個正整數(shù)，第1步劃去前面4個數(shù)1，2，3，4在n的后面寫上劃去的4個數(shù)的和10；第2步再劃去前面的4個數(shù)5，6，7，8在最后寫上劃去的4個數(shù)的和26：如此下去（即每步劃去前面4個數(shù)，在最后面寫上劃去的4個數(shù)的和）

（1）若最后只剩下一個數(shù)，則n應(yīng)滿足的充要條件是什么？

（2）取n=2002到最后只剩下一個數(shù)為止，所有寫出的數(shù)（包括原來的1，2…，2002）的總和是多少？

Answer 1

【答案】(1) n滿足的充要條件是n除以3余1 (2) 12880878.

【解析】

（1）每經(jīng)一步，紙上的數(shù)減少3個，若n個數(shù)經(jīng)p步只剩下1個數(shù)，則n-3p=1，即n=3p+1.

∴n滿足的充要條件是n除以3余1.

（2）假定原先有個數(shù)，其和為S，當(dāng)這個數(shù)劃完，需步，紙上剩下個數(shù)，且這個數(shù)的和等于原來個數(shù)的和S.故當(dāng)最后剩下1個數(shù)時，所寫出的數(shù)的總和為（k+1）S.

.原來2002個數(shù)經(jīng)步后，剩下個數(shù)，被劃去的數(shù)是1，2，3，…，1304（注意1304=4×326），而紙上剩下的個數(shù)的和就是1+2+…+2002.因此最后只剩下1個數(shù)時，所寫出的數(shù)的總和為（1+2+…+1304）+6（1+2+3+…+2002）=12880878.