Question

從橢圓（a＞b＞0）上一點(diǎn)M向x軸作垂線恰好通過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F₁，且它的長(zhǎng)軸端點(diǎn)A及短軸端點(diǎn)B的連線AB平行于OM，又Q是橢圓上任一點(diǎn)．
（1）求橢圓的離心率；
（2）求∠F₁QF₂的范圍；
（3）當(dāng)QF₂⊥AB時(shí)，延長(zhǎng)QF₂與橢圓交于另一點(diǎn)P，若△F₁PQ的面積為20，求橢圓方程．

Answer 1

解：（1）∵過(guò)點(diǎn)M向x軸作垂線經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)，A（a，0），B（0，b），∴，
∵AB∥OM，所以k_AB=k_OM，即，從而得到，
∴離心率．
（2）設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n
∴，
又因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/126891.png' />，所以0≤cos∠F₁QF₂≤1，所以．
（3）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
∵，所以，所以直線F₂Q的方程：y=（x-c）
直線與橢圓聯(lián)立，消元可得5x²-8cx+2c²=0
∴△=24c²＞0，，
由弦長(zhǎng)公式可得，
又因?yàn)镕₁到直線的距離，
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/126900.png' />，所以c²=25，b²=25，a²=50，
所以橢圓的方程為．
分析：（1）根據(jù)過(guò)點(diǎn)M向x軸作垂線經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)，A（a，0），B（0，b），可得M的坐標(biāo)，利用AB∥OM，即可得到橢圓的離心率；
（2）利用余弦定理，結(jié)合基本不等式，可得0≤cos∠F₁QF₂≤1，從而可確定∠F₁QF₂的范圍；
（3）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），確定直線F₂Q的方程：y=（x-c）與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，求得弦長(zhǎng)公式，F(xiàn)₁到直線的距離，根據(jù)△F₁PQ的面積為20，即可得到橢圓的方程．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的離心率，考查余弦定理的運(yùn)用，考查基本不等式的運(yùn)用，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是直線與橢圓聯(lián)立，確定三角形的面積．