Question

8．已知兩個不共線的向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為θ，且|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow$|=1，x為正實數(shù)．
（1）若$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow$垂直，求tanθ；
（2）若θ=$\frac{π}{6}$，求|x$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|的最小值及對應(yīng)的x值，并指出向量$\overrightarrow{a}$與x$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的位置關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）由（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）⊥（$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow$），可得（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow$）=0．展開可得cosθ=$\frac{1}{6}$，又θ∈（0，π），利用sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$，tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$即可得出．
（2）利用數(shù)量積運算性質(zhì)可得|x$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{9（x-\frac{\sqrt{3}}{6}）^{2}+\frac{1}{4}}$，故當(dāng)x=$\frac{\sqrt{3}}{6}$時，|x$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|取得最小值$\frac{1}{2}$，計算$\overrightarrow{a}$•（x$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）即可得出．

解答 解：（1）∵（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）⊥（$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow$），∴（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow$）=0．
∴$\overrightarrow{a}$²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-8$\overrightarrow$²=0，得3²-2×3×1×cosθ-8×1²=0，
得cosθ=$\frac{1}{6}$，
又θ∈（0，π），故θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
因此，sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\frac{\sqrt{35}}{6}$，
∴tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=$\sqrt{35}$．
（2）|x$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}{x}^{2}-2x\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{9{x}^{2}-3\sqrt{3}x+1}$=$\sqrt{9（x-\frac{\sqrt{3}}{6}）^{2}+\frac{1}{4}}$，
故當(dāng)x=$\frac{\sqrt{3}}{6}$時，|x$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|取得最小值$\frac{1}{2}$，
此時，$\overrightarrow{a}$•（x$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=x$\overrightarrow{a}$²-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$×9-3×1×cos$\frac{π}{6}$=0，
故向量$\overrightarrow{a}$與x$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$垂直．

點評 本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、數(shù)量積運算性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．