Question

如果一個數(shù)列{b_n}的前項n和為S_n，并且對于任意的n∈N^*都有S_n-2b_n+3n=0
（1）設a_n=b_n+3，求證：數(shù)列{a_n}是一個等比數(shù)列，并求出{b_n}的通項公式．
（2）求數(shù)列{nb_n}的前n項和．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由S_n-2b_n+3n=0，利用遞推式可得：b_n-2b_n+2b_n-1+3=0，化為b_n+3=2（b_n-1+3），可得a_n=2a_n-1，利用等比數(shù)列的通項公式可得a_n，進而得到b_n．
（2）nb_n=3（n×2ⁿ-n），令T_n=2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，利用“錯位相減法”可得T_n，再利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答： （1）證明：∵S_n-2b_n+3n=0，∴當n≥2時，S_n-1-2b_n-1+3（n-1）=0，b_n-2b_n+2b_n-1+3=0，化為b_n+3=2（b_n-1+3），
∵a_n=b_n+3，
∴a_n=2a_n-1，
當n=1時，b₁-2b₁+3=0，解得b₁=3．
∴數(shù)列{a_n}是一個等比數(shù)列，公比為2，首項為b₁+3=6，
∴a_n=6×2^n-1=3×2ⁿ．
∴b_n+3=3×2ⁿ，
化為b_n=3×2ⁿ-3．
（2）解：nb_n=3（n×2ⁿ-n），
令T_n=2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，
則2T_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ，-n×2ⁿ⁺¹=

2(2n-1)

2-1

-n×2n+1=（1-n）×2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2．
∴數(shù)列{nb_n}的前n項和=3[(n-1)×2n+1+2-

n(n+1)

2

]=（6n-6）•2ⁿ+6-

3n(n+1)

2

．

點評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．