Question

15．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，E為AD的中點(diǎn)，M是棱PC的中點(diǎn)，PA=PD=2，$BC=\frac{1}{2}AD=1$，$CD=\sqrt{3}$．
（1）求證：PE⊥平面ABCD；
（2）求直線BM與平面ABCD所成角的正切值；
（3）求直線BM與CD所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出PE⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，由此能證明PE⊥平面ABCD．
（2）連結(jié)EC，取EC中點(diǎn)H，連結(jié)MH、HB，則MH∥PE，從而∠MBH即為BM與平面ABCD所成角，由此能求出直線BM與平面ABCD所成角的正切值．
（3）由CD∥BE，得直線BM與CD所成角即為直線BM與BE所成角，由此能求出直線BM與CD所成角的余弦值．

解答 證明：（1）∵PA=PD，E為AD的中點(diǎn)，∴PE⊥AD
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PE⊥平面ABCD．
解：（2）連結(jié)EC，取EC中點(diǎn)H，連結(jié)MH、HB，
∵M(jìn)是PC的中點(diǎn)，H是EC的中點(diǎn)，∴MH∥PE，
由（1）知PE⊥平面ABCD，∴MH⊥平面ABCD，
∴HB是BM在平面ABCD內(nèi)的射影，
∴∠MBH即為BM與平面ABCD所成角，
∵AD∥BC，BC=$\frac{1}{2}$AD，E為AD的中點(diǎn)，∠ADC=90°，
∴四邊形BCDE為矩形，∴EC=2，HB=$\frac{1}{2}EC=1$，
又∵M(jìn)H=$\frac{1}{2}$PE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴△MHB中，tan$∠MBH=\frac{MH}{HB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴直線BM與平面ABCD所成角的正切值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（3）由（2）知CD∥BE，
∴直線BM與CD所成角即為直線BM與BE所成角
連接ME，Rt△MHE中，$ME=\frac{{\sqrt{7}}}{2}$，
Rt△MHB中，$BM=\frac{{\sqrt{7}}}{2}$，又$BE=CD=\sqrt{3}$，
∴△MEB中，$cos∠MBE=\frac{{B{M^2}+B{E^2}-M{E^2}}}{2BM•BE}=\frac{{\frac{7}{4}+3-\frac{7}{4}}}{{2×\frac{{\sqrt{7}}}{2}×\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，
∴直線BM與CD所成角的余弦值為$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查線面角的正弦值和線線角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．