Question

6．經(jīng)過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1右焦點的直線與雙曲線交于A，B兩點，若|AB|=4，則這樣的直線的條數(shù)為（　�。�

• A． 4條
• B． 3條
• C． 2條
• D． 1條

Answer 1

分析 根據(jù)題意，求得a、b的值，根據(jù)直線與雙曲線相交的情形，分兩種情況討論：①AB只與雙曲線右支相交，②AB與雙曲線的兩支都相交，分析其弦長的最小值，可得符合條件的直線的數(shù)目，綜合可得答案．

解答 解：由雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，可得a=2，b=1．
若AB只與雙曲線右支相交時，AB的最小距離是通徑，
長度為$\frac{2^{2}}{a}$=1，
∵AB=4＞1，∴此時有兩條直線符合條件；
若AB與雙曲線的兩支都相交時，此時AB的最小距離是實軸兩頂點的距離，
長度為2a=4，距離無最大值，
∵AB=4，∴此時有1條直線符合條件；
綜合可得，有3條直線符合條件．
故選：B．

點評 本題考查直線與雙曲線的關(guān)系，解題時可以結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，分析直線與雙曲線的相交的情況，分析其弦長最小值，從而求解，可避免由弦長公式進(jìn)行計算．