Question

【題目】已知函數(shù) （其中 是自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）若 ，當(dāng) 時，試比較 與2的大小；
（2）若函數(shù) 有兩個極值點(diǎn) ，求 的取值范圍，并證明：

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng) 時， ，則 ，令 ，
由于 故 ，于是 在 為增函數(shù)，所以 ，即 在 恒成立，
從而 在 為增函數(shù)，故
（2）解：函數(shù) 有兩個極值點(diǎn) ，則 是 的兩個根，即方程 有兩個根，
設(shè) ，則 ，
當(dāng) 時， ，函數(shù) 單調(diào)遞增且 ；
當(dāng) 時， ，函數(shù) 單調(diào)遞增且 ；
當(dāng) 時， ，函數(shù) 單調(diào)遞增且 ；
要使方程 有兩個根，只需 ，如圖所示

故實(shí)數(shù) 的取值范圍是
又由上可知函數(shù) 的兩個極值點(diǎn) 滿足 ，由 得 .
由于 ，故 ，所以
【解析】（1）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)即可判斷f（x）在上的單調(diào)性，由單調(diào)性即可比較f（x）與2的大小，（2）先求導(dǎo)數(shù) f ' ( x )，由題意知x 1 , x 2 ， 是方程 f ' ( x )=0的兩個根，令，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，繼而可得到k的取值范圍，由 f ' ( x 1 ) = 0 得 k = ，又由f（x1）=-（x1-1）2+1，x1∈（0,1），即可得到0<f（x1）<1.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減，以及對函數(shù)的極值的理解，了解極值反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況．