【題目】試求出所有的正整數(shù)組,使得.
【答案】見解析
【解析】
由題意設(shè).①
下面分兩種情況討論.
(1)若,則.因此,.顯然,.
若,則,故只能有;若,則是正整數(shù),
故只可能有.
(2)若,由對稱性不妨假設(shè),即.考慮二次方程,②
其中,是方程②的一個根.
設(shè)方程的另一根為.由韋達定理有是,.所以,為正整數(shù)且.
下面證明:當時,.
事實上,
.
又,,則 .所以,,成立.
由于和是方程②的兩個根,因此,對某個,
如果一組是方程①的解,
那么,也是方程①的解.
而,可因此,對方程①的任意一個解,
用來替換原來的,式①仍然成立.只要這里的,
這樣的替換便可以繼續(xù)下去.而每經(jīng)過一次這樣的替換,的值將會減少.
因此,經(jīng)過有限步之后,必有.
下面討論時,方程①的解.
(i)若,則方程①即為.而,
故僅有解.此時,.
(ii)若,則有.③
因為是正整數(shù),所以, 是正整數(shù).
故.如果,則.解得.
于是,,,即,此時,.
如果,代入式③可得,即與矛盾.因此,只能取.
當時,方程①的任意一個解經(jīng)過有限次替換以后必將變?yōu)?/span>.
反過來,對作上述替換的逆變換,
將生成方程的全部解.這些解可表示為,
在這里,數(shù)列滿足,以及遞推關(guān)系.
同理,當時,方程的全部解為,
在這里,數(shù)列滿足,以及遞推關(guān)系.
當時,由對稱性可知,方程的全部解為以及.
因此,全部解為.其中,數(shù)列滿足,;數(shù)列滿足,.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】有一種特別列車,沿途共有個車站(包括起點與終點),因安全需要,規(guī)定在同一車站上車的旅客不能在同一車站下車。為了保證上車的旅客都有座位(每位旅客一個座位),則列車至少要安排()個座位。
A. B. 100 C. 110 D. 120
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】共享單車的投放,方便了市民短途出行,被譽為中國“新四大發(fā)明”之一.某市為研究單車用戶與年齡的相關(guān)程度,隨機調(diào)查了100位成人市民,統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下:
不小于40歲 | 小于40歲 | 合計 | |
單車用戶 | 12 | y | m |
非單車用戶 | x | 32 | 70 |
合計 | n | 50 | 100 |
(1)求出列聯(lián)表中字母x、y、m、n的值;
(2)①從此樣本中,對單車用戶按年齡采取分層抽樣的方法抽出5人進行深入調(diào)研,其中不小于40歲的人應(yīng)抽多少人?
②從獨立性檢驗角度分析,能否有以上的把握認為該市成人市民是否為單車用戶與年齡是否小于40歲有關(guān).
下面臨界值表供參考:
P() | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.25 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6635 | 7.879 | 10.828 |
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【題目】已知函數(shù).
(1)①若直線與的圖象相切, 求實數(shù)的值;
②令函數(shù),求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.
(2)已知不等式對任意的恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】[選修4-4:坐標系與參數(shù)方程]
已知曲線的極坐標方程為.以極點為原點,極軸為軸的正半軸,建立平面直角坐標系,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)求曲線的直角坐標方程和直線的普通方程;
(2)求直線被曲線所截得的弦長.
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【題目】高考改革后,學生除了語數(shù)外三門必選外,可在A類科目:物理、化學、生物和B類科目:政治、地理、歷史共6個科目中任選3門.
(1)若小明同學已經(jīng)確定選了物理,現(xiàn)在他還要從剩余的5科中再選2科,則他在歷史與地理兩科中至少選一科的概率?
(2)求小明同學選A類科目數(shù)X的分布列、數(shù)學期望和方差.
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【題目】某大型商場的空調(diào)在1月到5月的銷售量與月份相關(guān),得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表:
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
銷量(百臺) | 0.6 | 0.8 | 1.2 | 1.6 | 1.8 |
(1)經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)1月到5月的銷售量可用線性回歸模型擬合該商場空調(diào)的月銷量(百件)與月份之間的相關(guān)關(guān)系.請用最小二乘法求關(guān)于的線性回歸方程,并預(yù)測6月份該商場空調(diào)的銷售量;
(2)若該商場的營銷部對空調(diào)進行新一輪促銷,對7月到12月有購買空調(diào)意愿的顧客進行問卷調(diào)查.假設(shè)該地擬購買空調(diào)的消費群體十分龐大,經(jīng)過營銷部調(diào)研機構(gòu)對其中的500名顧客進行了一個抽樣調(diào)查,得到如下一份頻數(shù)表:
有購買意愿對應(yīng)的月份 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
頻數(shù) | 60 | 80 | 120 | 130 | 80 | 30 |
現(xiàn)采用分層抽樣的方法從購買意愿的月份在7月與12月的這90名顧客中隨機抽取6名,再從這6人中隨機抽取3人進行跟蹤調(diào)查,求抽出的3人中恰好有2人是購買意愿的月份是12月的概率.
參考公式與數(shù)據(jù):線性回歸方程,其中,.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)有10件產(chǎn)品中有3件次品,7件正品,從中抽取5件用數(shù)字表示
(1)沒有次品的抽法有多少種?
(2)有2件次品的抽法有多少種?
(3)至少1件次品的抽法有多少種?
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