Question

4．如圖，直三棱柱ABCD-A₁B₁C₁中，AB=1，BC=2，AC=$\sqrt{5}$，AA₁=3，M為線段BB₁上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)AM+MC₁最小時(shí)，點(diǎn)C到平面AMC₁的距離為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先將直三棱柱ABC-A₁B₁C₁沿棱BB₁展開(kāi)成平面連接AC₁，與BB₁的交點(diǎn)即為滿(mǎn)足AM+MC₁最小時(shí)的點(diǎn)M，
由此可以求得△AMC₁的三邊長(zhǎng)，再由余弦定理求出其中一角，由面積公式求出面積

解答 解：將直三棱柱ABC-A₁B₁C₁沿棱BB₁展開(kāi)成平面連接AC₁，與BB₁的交點(diǎn)即為滿(mǎn)足AM+MC₁最小時(shí)的點(diǎn)M，
由于AB=1，BC=2，AA₁=3，再結(jié)合棱柱的性質(zhì)，可得BM=$\frac{1}{3}$AA₁=1，故B₁M=2
由圖形及棱柱的性質(zhì)，可得AM=$\sqrt{2}$，AC₁=$\sqrt{14}$，MC₁=2$\sqrt{2}$，cos∠AMC₁=$\frac{2+8-14}{2×\sqrt{2}×2\sqrt{2}}$=-$\frac{1}{2}$．
故sin∠AMC₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，△AMC₁的面積為$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
設(shè)點(diǎn)C到平面AMC₁的距離為h，則由等體積可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×2×1=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×h$，
∴h=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查棱柱的特征，求解本題的關(guān)鍵是根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征及其棱長(zhǎng)等求出三角形的邊長(zhǎng)，再由面積公式求面積，本題代數(shù)與幾何相結(jié)合，綜合性強(qiáng)，解題時(shí)要注意運(yùn)算準(zhǔn)確，正確認(rèn)識(shí)圖形中的位置關(guān)系．