Question

1．現(xiàn)有4名學(xué)生參加演講比賽，有A、B兩個(gè)題目可供選擇．組委會(huì)決定讓選手通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子選擇演講的題目，規(guī)則如下：選手?jǐn)S出能被3整除的數(shù)則選擇A題目，擲出其他的數(shù)則選擇B題目．
（Ⅰ）求這4個(gè)人中恰好有1個(gè)人選擇B題目的概率；
（Ⅱ）用X、Y分別表示這4個(gè)人中選擇A、B題目的人數(shù)，記ξ=X•Y，求隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

Answer 1

分析 判斷得出概率滿足$P（{A_i}）=C_4^i{（\frac{1}{3}）^i}•{（\frac{2}{3}）^{4-i}}$，
（I）運(yùn)用獨(dú)立試驗(yàn)解決即可$P（{A_3}）=C_4^3{（\frac{1}{3}）^3}•（\frac{2}{3}）=\frac{8}{81}$；
（II）確定隨機(jī)變量的值：X=0，1，2，3，4則Y=4，3，2，1，0，即可求解ξ的所有可能取值為0，3，4，分類求解概率，列出分布列，即可求解數(shù)學(xué)期望

解答 解：由題意知，這4個(gè)人中每個(gè)人選擇A題目的概率為$\frac{1}{3}$，選擇B題目的概率為$\frac{2}{3}$，
記“這4個(gè)人中恰有i人選擇A題目”為事件A_i（i=0，1，2，3，4），
∴$P（{A_i}）=C_4^i{（\frac{1}{3}）^i}•{（\frac{2}{3}）^{4-i}}$，
（Ⅰ）這4人中恰有一人選擇B題目的概率為$P（{A_3}）=C_4^3{（\frac{1}{3}）^3}•（\frac{2}{3}）=\frac{8}{81}$；
（Ⅱ）ξ的所有可能取值為0，3，4，且$P（ξ=0）=P（{A_0}）+P（{A_4}）=C_4^0{（\frac{2}{3}）^4}+C_4^4{（\frac{1}{3}）^4}=\frac{16}{81}+\frac{1}{81}=\frac{17}{81}$，$P（ξ=3）=P（{A_1}）+P（{A_3}）=C_4^1（\frac{1}{3}）•{（\frac{2}{3}）^3}+C_4^3{（\frac{1}{3}）^3}•（\frac{2}{3}）=\frac{32}{81}+\frac{8}{81}=\frac{40}{81}$，$P（ξ=4）=P（{A_2}）=C_4^2{（\frac{1}{3}）^2}•{（\frac{2}{3}）^2}=\frac{24}{81}$，
∴ξ的分布列是

ξ	0	3	4
P	$\frac{17}{81}$	$\frac{40}{81}$	$\frac{24}{81}$

所以$E（ξ）=0×\frac{17}{81}+3×\frac{40}{81}+4×\frac{24}{81}=\frac{8}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考慮學(xué)生的閱讀分析問題的能力，離散型的概率分布，對(duì)立重復(fù)試驗(yàn)問題，屬于中檔題．