Question

13．如圖，已知二面角α-l-β的大小為60°，其棱上有A，B兩點(diǎn)，直線AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB，已知AB=2，AC=3，BD=4，則線段CD的長為$\sqrt{17}$．

Answer 1

分析 推導(dǎo)出$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$，由此能求出CD的長．

解答 解：∵二面角α-l-β的大小為60°，其棱上有A，B兩點(diǎn)，
直線AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，
且都垂直于AB，AB=2，AC=3，BD=4，
∴$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$，
∴${\overrightarrow{CD}}^{2}$=（$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$）²
=${\overrightarrow{CA}}^{2}+{\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{BD}}^{2}$+2$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{BD}$+2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BD}$
=4+9+16+2|$\overrightarrow{CA}$|•|$\overrightarrow{BD}$|cos120°
=29-12=17，
∴|$\overrightarrow{CD}$|=$\sqrt{17}$，即CD的長為$\sqrt{17}$．
故答案為：$\sqrt{17}$．

點(diǎn)評 本題考查線段長的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．