Question

18．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分圖如圖所示，下面結(jié)論正確的是（　�。�
①函數(shù)f（x）的最小正周期是2π；
②函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{6}$]上是增函數(shù)；
③函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{12}$對(duì)稱；
④函數(shù)f（x）的圖象可由函數(shù)g（x）=sin2x的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位長(zhǎng)度得到．

• A． 3
• B． 2
• C． 1
• D． 0

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x）的部分圖象求出f（x）的解析式，
再判斷每一個(gè)命題是否正確．

解答 解：根據(jù)函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分圖象知，
$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{3}$-（-$\frac{π}{6}$）=$\frac{π}{2}$，∴T=$\frac{2π}{ω}$=π，ω=2；
根據(jù)五點(diǎn)法畫圖知，2×（-$\frac{π}{6}$）+φ=0，解得φ=$\frac{π}{3}$；
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）；
對(duì)于①，函數(shù)f（x）的最小正周期是T=π，①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{6}$]時(shí)，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]，
f（x）在[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{6}$]上是減函數(shù)，②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，x=$\frac{π}{12}$時(shí)，2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，
∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{12}$對(duì)稱，③正確；
對(duì)于④，由f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）=sin2（x+$\frac{π}{6}$）知，
函數(shù)f（x）的圖象可由函數(shù)g（x）=sin2x的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位長(zhǎng)度得到，④錯(cuò)誤；
綜上，正確的命題是③．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合題．