Question

15．已知（2x-1）²⁰=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a₂₀（x+1）²⁰（x∈R），則$\sum_{i=1}^{20}$i²a_i=1480．

Answer 1

分析 先換元，兩邊求導(dǎo)，20（2t-3）¹⁹=a₁+2a₂t+…+20a₂₀t¹⁹，再兩邊同時乘以t，40t（2t-3）¹⁹=a₁t+2a₂t²+…+20a₂₀t²⁰，兩邊再求導(dǎo)，令t=1，可得$\sum_{i=1}^{20}$i²a_i．

解答 解：令x+1=t，則x=t-1，
則（2t-3）²⁰=a₀+a₁t+a₂t²+…+a₂₀t²⁰（x∈R），
兩邊求導(dǎo)，40（2t-3）¹⁹=a₁+2a₂t+…+20a₂₀t¹⁹，
兩邊同時乘以t，40t（2t-3）¹⁹=a₁t+2a₂t²+…+20a₂₀t²⁰，
兩邊再求導(dǎo)，40×（40t-3）（2t-3）¹⁸=a₁+2²a₂t+…+20²a₂₀t¹⁹，
令t=1，可得$\sum_{i=1}^{20}$i²a_i=40×37×（-1）¹⁸=1480，
故答案為：1480．

點評 本題考查二項式的系數(shù)和問題，考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．