Question

6．已知a為實數(shù)，A為不等式x²-（2a+1）x+（a+2）（a-1）≥0的解集，B為不等式x²-a（a+1）x+a³＜0的解集．
（1）用區(qū)間表示A和B；
（2）是否存在實數(shù)a，使A∪B=R？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）通過因式分解先求出集合A，討論a的大小求出集合B；（2）假設(shè)存在，得到不等式組無解，從而證出不存在．

解答 解：（1）∵x²-（2a+1）x+（a+2）（a-1）≥0，
∴（x-a-2）（x-a+1）≥0，
∵a-1＜a+2，
∴A=（-∞，a-1]∪[a+2，+∞）；
∵x²-a（a+1）x+a³＜0，
∴（x-a）（x-a²）＜0
∴B=$\left\{\begin{array}{l}{（a{，a}^{2}），當(dāng)a＜0或a＞1時}\\{∅，當(dāng)a=0或a=1時}\\{{（a}^{2}，a），當(dāng)0＜a＜1時}\end{array}\right.$；
（2）假設(shè)存在實數(shù)a，使A∪B=R，
則$\left\{\begin{array}{l}{a＜a-1}\\{{a}^{2}＞a+2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}＜a-1}\\{a＞a+2}\end{array}\right.$，無解，
∴不存在實數(shù)a，使A∪B=R．

點評 本題主要考查了一元二次不等式的解法，同時考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．