Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q是AD的中點．
（1）若PA=PD，求證：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若平面APD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，在線段PC上是否存在點M，使二面角M-BQ-C的大小為60°．若存在，試確定點M的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知得PQ⊥AD，BQ⊥AD，由此能證明平面PQB⊥平面PAD．
（2）以Q為坐標原點，分別以QA，QB，QP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出存在點M為線段PC靠近P的三等分點滿足題意．

解答： （1）證明：∵PA=PD，Q為AD的中點，∴PQ⊥AD，
又∵底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，
又PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，
又∵AD?平面PAD，
∴平面PQB⊥平面PAD．
（2）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，
∴PQ⊥平面ABCD，
以Q為坐標原點，分別以QA，QB，QP為x，y，z軸，
建立空間直角坐標系，如圖
則Q（0，0，0），P（0，0，

3

），B（0，

3

，0），C（-2，

3

，0）
設

PM

=λ

PC

，0＜λ＜1，則M（-2λ，

3

λ，

3

(1-λ)），
平面CBQ的一個法向量

n1

=（0，0，1），
設平面MBQ的法向量為

n2

=（x，y，z），
由

QM • n2 =0 QB • n2 =0

，得

n2

=（

3-3λ

2λ

，0，

3

），
∵二面角M-BQ-C的大小為60°，
∴cos60°=|cos＜

n1

，

n2

＞|=|

3

( 3-3λ 2λ )2+3

|=

1

2

，
解得λ=

1

3

，∴

PM

PC

=

1

3

，
∴存在點M為線段PC靠近P的三等分點滿足題意．

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查滿足條件的點是否存在的判斷與證明，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．