Question

19．設函數(shù)f（x）=2ax²+bx-3a+1．
（1）若0＜a≤1，f（x₁）≥f（x₂），x₁，x₂滿足x₁∈[b，b+a]，x₂∈[b+2a，b+4a]，求實數(shù)b的最大值；
（2）當x∈[-4，4]時，f（x）≥0恒成立，求5a+b的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）是二次函數(shù)且開口向上，討論對稱軸x=-$\frac{4a}$與區(qū)間端點的關系，再利用函數(shù)的單調性與最值，即可求出實數(shù)b的最大值；
（2）由題意，f（0）≥0成立，所以a≤$\frac{1}{3}$，再分類討論，利用線性規(guī)劃知識求解，即可求出5a+b的最小值．

解答 解：（1）f（x）=2ax²+bx-3a+1，
當0＜a≤1時，x₁，x₂滿足x₁∈[b，b+a]，x₂∈[b+2a，b+4a]，
當-$\frac{4a}$≥b+4a，
即-b≥$\frac{1{6a}^{2}}{1+4a}$=$\frac{16}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{4}{a}}$=$\frac{16}{{（\frac{1}{a}+2）}^{2}-4}$≥$\frac{16}{{3}^{2}-4}$=$\frac{16}{5}$，
當且僅當a=1時取“=”，
所以b≤-$\frac{16}{5}$時，f（x₁）≥f（x₂）恒成立；
當-$\frac{4a}$＜b+4a，即b＞-$\frac{16}{5}$時，要使f（x₁）≥f（x₂），
則f（b+a）≥f（b+4a），
代入整理得b≤$\frac{-1{0a}^{2}}{4a+1}$=-$\frac{10}{\frac{4}{a}+\frac{1}{{a}^{2}}}$=-$\frac{10}{{（\frac{1}{a}+2）}^{2}-4}$≤-$\frac{10}{{3}^{2}-4}$=-2，
當且僅當a=1時成立；綜上，實數(shù)b的最大值是-2；
（2）由題意，f（0）≥0成立，所以a≤$\frac{1}{3}$．
①0＜a≤$\frac{1}{3}$時，則問題等價于$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{4a}≤-4}\\{f（-4）≥0}\end{array}\right.$（i）或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{4a}≥4}\\{f（4）≥0}\end{array}\right.$（ii）或（iii）f（-$\frac{4a}$）≥0
（i）$\left\{\begin{array}{l}{16a-b≤0}\\{29a-4b+1≥0}\end{array}\right.$，對應的區(qū)域如圖所示，
由圖知，直線z=5a+b經(jīng)過點O（0，0）時，取得最小值0；
（ii）$\left\{\begin{array}{l}{16a+b≤0}\\{29a+4b+1≥0}\end{array}\right.$對應的區(qū)域如圖所示，
由圖知，直線z=5a+b經(jīng)過點A（$\frac{1}{35}$，-$\frac{16}{35}$）時，取得最小值-$\frac{11}{35}$

（iii）24a²-8a+b²≤0，對應的區(qū)域如圖所示，
由圖知，直線z=5a+b經(jīng)過點B（$\frac{1}{21}$，-$\frac{12}{21}$）時，取得最小值-$\frac{1}{3}$；

a≤0時，問題等價于$\left\{\begin{array}{l}{f（-4）≥0}\\{f（4）≥0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{29a-4b+1≥0}\\{29a+4b+1≥0}\end{array}\right.$，
對應的區(qū)域如圖所示，
由圖知，直線z=5a+b經(jīng)過點C（0，-$\frac{1}{4}$）時，取得最小值-$\frac{1}{4}$，

綜上，a=$\frac{1}{21}$，b=-$\frac{12}{21}$時，z=5a+b取得最小值-$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了函數(shù)恒成立問題，也考查了分析問題與解決問題的能力，考查了轉化思想與分類討論思想的應用問題，是難題．