Question

某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜

π

2

）在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：

x	x1	1 3	x2	7 3	x3
ωx+ϕ	0	π 2	π	3π 2	2π
Asin（ωx+ϕ）	0	3	0	- 3	0

（Ⅰ）請(qǐng)寫出上表的x₁、x₂、x₃，并直接寫出函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）將f（x）的圖象沿x軸向右平移

2

3

個(gè)單位得到函數(shù)g（x）的圖象，P、Q分別為函數(shù)g（x）圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)（如圖），求∠OQP的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由表中數(shù)據(jù)列關(guān)于ω、φ的二元一次方程組，求得ω、φ的值，得到函數(shù)解析式，進(jìn)一步求得x₁、x₂、x₃；
（Ⅱ）由函數(shù)圖象平移求得g(x)=

3

sin

π

2

x，求出最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出三角形OPQ的邊長，由余弦定理求得∠OQP的大�。�

解答： 解：（Ⅰ）由表可知，

1

3

ω+φ=

π

2

，

7

3

ω+φ=

3π

2

，
解得，ω=

π

2

，φ=

π

3

．
由

π

2

x₁+

π

3

=0、

π

2

x₂+

π

3

=π、

π

2

x₃+

π

3

=2π，得
x1=-

2

3

，x2=

4

3

，x3=

10

3

．
∴f(x)=

3

sin(

π

2

x+

π

3

)；
（Ⅱ）將f（x）的圖象沿x軸向右平移

2

3

個(gè)單位得到函數(shù)g(x)=

3

sin

π

2

x，
∵P、Q分別為該圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，
∴P(1，

3

)，Q(3，-

3

)．
∴OP=2，PQ=4，OQ=

12

，
∴cosθ=

OQ2+PQ2-OP2

2OQ•QP

=

3

2

．
∴θ=

π

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解函數(shù)解析式，考查了y=Asin（ωx+φ）的性質(zhì)，考查了余弦定理的應(yīng)用，訓(xùn)練了五點(diǎn)作圖法，是中檔題．