Question

已知函數(shù)f(x)＝ax³＋x²＋bx(其中常數(shù)a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f ′(x)是奇函數(shù)．

(1)求f(x)的表達(dá)式；

(2)討論g(x)的單調(diào)性，并求g(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值與最小值．

Answer 1

解：(1)由題意得f ′(x)＝3ax²＋2x＋b，

因此g(x)＝f(x)＋f ′(x)＝ax³＋(3a＋1)x²＋(b＋2)x＋b.

因?yàn)楹瘮?shù)g(x)是奇函數(shù)，所以g(－x)＝－g(x)，

即對任意實(shí)數(shù)x，有a(－x)³＋(3a＋1)(－x)²＋(b＋2)(－x)＋b＝－[ax³＋(3a＋1)x²＋(b＋2)x＋b]，

從而3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－，b＝0，

因此f(x)的表達(dá)式為f(x)＝－x³＋x².

(2)由(1)知g(x)＝－x³＋2x，

所以g′(x)＝－x²＋2.

令g′(x)＝0，解得x₁＝－，x₂＝.

則當(dāng)x<－或x>時，g′(x)<0，從而g(x)在區(qū)間(－∞，－]，[，＋∞)上是減函數(shù)；

當(dāng)－<x<時，g′(x)>0，從而g(x)在區(qū)間[－，]上是增函數(shù)．

由上述討論知，g(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值與最小值只能在x＝1，，2時取得，

而g(1)＝，g()＝，g(2)＝，

因此g(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值為g()＝，最小值為g(2)＝.